Risposta all'impulso.

Definition 5.4   Si definisce impulso di ampiezza $A$ la grandezza:

$$x\left(t\right)=\delta\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} 0\q... ...rac{A}{\varepsilon}\qquad\forall t\in\Re:0\le t\le\varepsilon\end{array}\right.$$

per la quale si ha:

$$\int_{0}^{\infty}\delta\left(t\right)dt=\int_{0}^{\varepsilon}\de... ...ac{1}{\varepsilon}dt=\left[\frac{t}{\varepsilon}\right]_{0}^{\varepsilon}=1-0=1$$

inoltre tale funzione gode della seguente proprietà:

$$\int_{0}^{\infty}\delta\left(t\right)f\left(t\right)dt=f\left(0\right)$$

sostituendo nella relazione relativa allo strumento e tenendo conto della suddetta proprietà si ha:

$$a_{1}\frac{dy\left(t\right)}{dt}+a_{0}y\left(t\right)=b_{0}Ax\left(t\right)$$

dividendo per $a_{0}\ne0$, si ha:

$$\tau\frac{dy\left(t\right)}{dt}+y\left(t\right)=KAx\left(t\right)$$

$$\tau\frac{dy\left(t\right)}{dt}=KAx\left(t\right)-y\left(t\right)$$

$$\frac{dy\left(t\right)}{dt}=\frac{KA}{\tau}x\left(t\right)-\frac{1}{\tau}y\left(t\right)$$

la soluzione della quale è:

$$y\left(t\right)=e^{-\int\frac{1}{\tau}dt}\left[c+\int\frac{KA}{\tau}x\left(t\right)e^{\int\frac{1}{\tau}dt}dt\right]$$

$$y\left(t\right)=e^{-\frac{t}{\tau}}\left[c+\frac{KA}{\tau}\int x\left(t\right)e^{\frac{t}{\tau}}dt\right]$$

ricordando la proprietà dell'impulso, si ha:

$$y\left(t\right)=e^{-\frac{t}{\tau}}\left(c+\frac{KA}{\tau}\right)$$

poiché è:

$$y\left(0\right)=\frac{KA}{\tau}$$

si ha:

$$\frac{KA}{\tau}=c+\frac{KA}{\tau}$$

dalla quale segue che:

$$c=0$$

$$y\left(t\right)=\frac{KA}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}$$

Figure: Risposta normalizzata all'impulso.