Il diagramma di Bode.

Al fine di visualizzare l'andamento in funzione della frequenza della funzione di trasferimento di un dato sistema, si utilizzano i diagrammi di Bode. Questi permettono di visualizzare l'andamento della f.d.t. in funzione della frequenza in $dB$ e la fase della stessa su appositi diagrammi semilogaritmici. Sia:

$$Y\left(s\right)=\mathcal{L}\left[y\left(t\right)\right]$$

l'uscita del sistema considerato e:

$$X\left(s\right)=\mathcal{L}\left[x\left(t\right)\right]$$

l'ingresso dello stesso, si ha la funzione di trasferimento (f.d.t.):

$$G\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}$$

dalla quale:

$$A\left(s\right)=20\log\left\vert G\left(s\right)\right\vert$$

è il rapporto d'ampiezza e:

$$\Phi\left(s\right)=\arg\left[G\left(s\right)\right]=\arctan\frac{im\left[G\left(s\right)\right]}{re\left[G\left(s\right)\right]}$$

è detto angolo di fase.

Example 5.5   Sia data una termocoppia $T$ la quale ha, come funzione di trasferimento, la grandezza:

$$G_{T}\left(s\right)=\frac{K_{1}}{\tau_{1}s+1}$$

con $K_{1}=1$, il diagramma di Bode del sistema termocoppia è in figura .

Figure: Diagramma di Bode del sistema termocoppia.

Poiché la risposta non è adeguata all'utilizzo del dispositivo in una catena di misura si decide di realizzare una rete, collegata tra la termocoppia, ed il dispositivo di misura in grado di modificare la risposta della termocoppia stessa.

Figure: Termocoppia e rete di adattamento. $C=1\mu F$, $R_{1}100k\Omega$.

Il nuovo blocco inserito ha una funzione di trasferimento $G_{r}\left(s\right)$ tale che il sistema ha funzione di trasferimento globale:

$$G\left(s\right)=G_{T}\left(s\right)G_{r}\left(s\right)$$

per valutare la funzione di trasferimento della rete $G_{r}\left(s\right)$ si valuta pertendo dalle equazioni circuitali della rete stessa. Se si applica una tensione $V_{i}\left(s\right)$ all'ingesso, lasciando la rete a vuoto, si avrà una tensione d'uscita $V_{o}\left(s\right)$, infatti:

$$I\left(s\right)=\frac{V_{i}\left(s\right)}{R_{2}+\frac{R_{1}\frac... ..._{1}+1}}=V_{i}\left(s\right)\frac{sCR_{1}+1}{R_{2}\left(sCR_{1}+1\right)+R_{1}}$$

$$V_{o}\left(s\right)=R_{2}I\left(s\right)$$

ovvero:

$$V_{o}=R_{2}V_{i}\left(s\right)\frac{sCR_{1}+1}{R_{2}\left(sCR_{1}+1\right)+R_{1}}$$

$$V_{o}\left(s\right)=V_{i}\left(s\right)\frac{sCR_{1}+1}{sCR_{1}+1+\frac{R_{1}}{R_{2}}}$$

la f.d.t. della rete anticipatrice è data da:

$$G_{r}\left(s\right)=\frac{V_{o}\left(s\right)}{V_{i}\left(s\right)}=\frac{sCR_{1}+1}{sCR_{1}+1+\frac{R_{1}}{R_{2}}}$$

dove:

$$\tau_{2}=CR_{1}$$

poichè deve essere $\tau_{1}=\tau_{2}$, si deduce che è:

$$\tau_{1}=\tau_{2}=CR_{1}=1\cdot10^{-6}100\cdot10^{3}=0.1s$$

$$G_{T}\left(s\right)=\frac{1}{0.1s+1}$$

mentre, ponendo:

$$\alpha=1+\frac{R_{1}}{R_{2}}$$

$$G\left(s\right)=\frac{1}{\tau_{1}s+1}\cdot\frac{\tau_{1}s+1}{\tau_{1}s+\alpha}=\frac{1}{\tau_{1}s+\alpha}$$

ovvero:

$$G\left(s\right)=\frac{1}{\alpha\left(\frac{\tau_{1}}{\alpha}s+1\right)}$$

il sistema ha una nuova costante di tempo data da:

$$\tau=\frac{\tau_{1}}{\alpha}$$

volendo aumentare la risposta del nuovo sistema occore diminuire tale costante di tempo, ad esempio si pone:

$$\alpha=5$$

il che si traduce in:

$$5=1+\frac{R_{1}}{R_{2}}$$

da dove si calcola il valore della resistenza $R_{2}$:

$$R_{2}=\frac{R_{1}}{4}=\frac{100}{4}=25k\Omega$$

tale valore non è commerciale, per cui si pone:

$$R_{2}=22k\Omega$$

il sistema ha fd.t.:

$$G\left(s\right)=\frac{1}{5\left(0.2s+1\right)}$$

mentre per la risposta nel tempo a gradino unitario, si ha:

$$V_{o}\left(s\right)=\Theta_{i}\left(s\right)G\left(s\right)$$

dove:

$$\Theta_{i}\left(s\right)=\frac{1}{s}$$

è il gradino unitario di variazione di temperatura:

$$V_{o}\left(s\right)=\frac{1}{5s\left(0.2s+1\right)}=\frac{A}{5s}+\frac{B}{5\left(0.2s+1\right)}$$

dove le costanti $A$ e $B$ possono calcolarsi utilizzando il sistema che si ricava dall'identità polinomiale:

$$5A\left(0.2s+1\right)+5Bs=1$$

$$\left(A+5B\right)s+5A=1$$

cioè:

$$A+5B=0$$

$$5A=1$$

$$A=\frac{1}{5}$$

$$\frac{1}{5}+5B=0$$

$$B=-\frac{1}{25}$$

ed infine:

$$V_{o}\left(s\right)=\frac{1}{25s}-\frac{1}{125\left(0.2s+1\right)}$$

dalla quale antitrasformando:

$$v_{o}\left(t\right)=\frac{1}{25}\left(1-e^{-5t}\right)$$

Figure: Risposte del sistema con la sola termocoppia e con termocoppia + rete compensatrice.

La figura , relativa all'esempio, mostra che:

1. la compensazione migliora le prestazioni della termocoppia. Si è abbattuta la costante di tempo, cioè il sistema compensato risponde più rapidamente, ma si è abbassato il modulo della risposta;
2. la compensazione riconfigura la funzione di trasferimento in modo da ottenere una risposta piatta nel campo operativo di frequenza, la pulsazione di taglio passa da $\omega=10\frac{rad}{s}$ a $\omega=50\frac{rad}{s}$.