Risposta in frequenza.

Le relazioni finora studiate dell'andamento dell'ingresso e dell'uscita in funzione del tempo vengono sostituite da altre in funzione della frequenza. In questo modo la soluzione delle equazioni differenziali può essere facilmente individuata con metodi algebrici. A questo scopo s'introduce un operatore matematico detto trasformata di Laplace.

Definition 5.5   Sia data una funzione $f\left(t\right)$ con $t\in\Re$ che sia integrabile in $t=\left[0,+\infty\right]$, allora la grandezza:

$$F\left(s\right)=\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)e^{-st}dt$$

rappresenta la trasformata di Laplace della $f\left(t\right)$ e si indica:

$$F\left(s\right)=\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]$$

Ad esempio data:

$$f\left(t\right)=A\sin\left(\omega_{0}t\right)$$

in base alla definizione di trasformata di Laplace si ha:

$$F\left(s\right)=\int_{0}^{\infty}A\sin\left(\omega_{0}t\right)e^{-st}dt=A\int_{0}^{\infty}\sin\left(\omega_{0}t\right)e^{-st}dt=$$

$$=A\left[\frac{\omega_{0}e^{-st}\cos\left(\omega_{0}t\right)}{s^{2... ...e^{-st}\sin\left(\omega_{0}t\right)}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right]_{0}^{\infty}=$$

$$=A\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}$$

cioè:

$$F\left(s\right)=A\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}$$

ponendo:

$$s=j\omega$$

la precedente diviene:

$$F\left(j\omega\right)=A\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}$$

in questo modo è possibile studiare il sistema con metodi algebrici, poichè le equazioni differenziali divengono equazioni algebriche e poi, una volta trovata la soluzione, passare al dominio del tempo con l'operazione di antitrasformazione:

$$f\left(t\right)=\mathcal{L}^{-1}\left[F\left(s\right)\right]$$