Risposta al gradino.

La trasformata di Laplace del gradino è:

$$X\left(s\right)=\frac{A}{s}$$

La risposta del sistema è:

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)X\left(s\right)=\frac{A}{s}\cdot\f... ...omega_{a}-\omega_{r}}\left(\frac{1}{s-\omega_{a}}-\frac{1}{s-\omega_{r}}\right)$$

ed ancora:

$$Y\left(s\right)=\frac{KA}{\omega_{a}-\omega_{r}}\left[\frac{1}{s\left(s-\omega_{a}\right)}+\frac{1}{s\left(s-\omega_{r}\right)}\right]$$

ovvero:

$$\frac{1}{s\left(s-\omega_{a}\right)}=\frac{a}{s}+\frac{b}{s-\omega_{a}}$$

$$as-a\omega_{a}+sb=1$$

$$\left\{ \begin{array}{l} a+b=0\\ a\omega_{a}=1\end{array}\right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} b=-\frac{1}{\omega_{a}}\\ a=\frac{1}{\omega_{a}}\end{array}\right.$$

$$\frac{1}{s\left(s-\omega_{a}\right)}=\frac{1}{s\omega_{a}}-\frac{1}{\omega_{a}\left(s-\omega_{a}\right)}$$

la risposta del sistema nel tempo è:

$$y\left(t\right)=\frac{KA}{\omega_{a}-\omega_{r}}\left[\frac{1}{\o... ...a}}}\right)+\frac{1}{\omega_{r}}\left(1-e^{-\frac{t}{\omega_{r}}}\right)\right]$$