Strumenti del secondo ordine.

Per tali sistemi si ha:

$$a_{2}\left[s^{2}Y\left(s\right)-s\left.\frac{dy\left(t\right)}{dt... ...\left(s\right)-y\left(0\right)\right]+a_{0}Y\left(s\right)=b_{0}X\left(s\right)$$

ponendo come condizioni al contorno:

$$y\left(0\right)=0\qquad\left.\frac{dy\left(t\right)}{dt}\right\vert _{t=0}=0$$

si ottiene:

$$a_{2}s^{2}Y\left(s\right)+a_{1}sY\left(s\right)+a_{0}Y\left(s\right)=b_{0}X\left(s\right)$$

$$\left(a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}\right)Y\left(s\right)=b_{0}X\left(s\right)$$

e con le posizioni:

$$\frac{1}{\omega_{0}^{2}}=\frac{a_{2}}{a_{0}}\qquad\frac{2\zeta}{\omega_{0}}=\frac{a_{1}}{a_{0}}\qquad K=\frac{b_{0}}{a_{0}}$$

si ottiene:

$$\left(\frac{1}{\omega_{0}^{2}}s^{2}+\frac{2\zeta}{\omega_{0}}s+1\right)Y\left(s\right)=KX\left(s\right)$$

la funzione di trasferimento del sistema è:

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\frac{1}{\omega_{0}^{2}}s^{2}+\frac{2\zeta}{\omega_{0}}s+1}$$

la precedente può assumere varie forme a seconda delle radici del polinomio al denominatore, infatti risolvendo la seguente equazione:

$$\frac{1}{\omega_{0}^{2}}s^{2}+\frac{2\zeta}{\omega_{0}}s+1=0$$

cioè:

$$s_{1,2}=\frac{-\frac{2\zeta}{\omega_{0}}\pm\sqrt{\left(\frac{2\ze... ...}}{\frac{2}{\omega_{0}^{2}}}=\left(-\zeta\pm\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}$$

che si riduce allo studio di:

$$\zeta^{2}=1$$

ponendo:

$$\omega_{a}=-\omega_{0}\left(\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\qquad\omega_{r}=\omega_{0}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)$$

se $\left\vert\zeta\right\vert<1$ le soluzioni sono complesse e coniugate:

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\left[s-\left(-\zeta-j\sqrt{\zeta^{2}-1}... ...ega_{0}\right]\left[s-\left(-\zeta+j\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}\right]}$$

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\left(s-\omega_{a}\right)\left(s-\omega_{r}\right)}$$

per $\left\vert\zeta\right\vert=1$ si hanno due soluzioni reali e coincidenti:

$$s_{1,2}=-\omega_{0}\zeta=\frac{\omega_{a}+\omega_{r}}{2}$$

infatti:

$$\frac{\omega_{a}+\omega_{r}}{2}=\frac{1}{2}\left[-\omega_{0}\left... ...rt{\zeta^{2}-1}\right)+\omega_{0}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\right]=$$

$$=\frac{1}{2}\left(-\omega_{0}\zeta-\omega_{0}\sqrt{\zeta^{2}-1}-\omega_{0}\zeta+\omega_{0}\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)=-\omega_{0}\zeta$$

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\left(s+\frac{\omega_{a}+\omega_{r}}{2}\right)^{2}}$$

ed infine per $\left\vert\zeta\right\vert>1$, si ha:

$$s_{1,2}=\left(-\zeta\pm\sqrt{\zeta^{2}-1}\right)\omega_{0}$$

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\left(s-\omega_{a}\right)\left(s-\omega_{r}\right)}$$

ovvero:

$$G\left(s\right)=\frac{a}{s-\omega_{a}}+\frac{b}{s-\omega_{r}}$$

$$as-a\omega_{r}+bs-b\omega_{a}=K$$

$$a+b=0$$

$$a\omega_{r}+b\omega_{a}=-K$$

ovvero:

$$a=-b$$

$$-b\omega_{r}+b\omega_{a}=-K$$

$$b=\frac{K}{\omega_{r}-\omega_{a}}=\frac{K}{2\omega_{0}\sqrt{\zeta^{2}-1}}$$

$$a=\frac{K}{\omega_{a}-\omega_{r}}=-\frac{K}{2\omega_{0}\sqrt{\zeta^{2}-1}}$$

e di conseguenza:

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\omega_{a}-\omega_{r}}\cdot\frac{1}{s-\omega_{a}}+\frac{K}{\omega_{r}-\omega_{a}}\cdot\frac{1}{s-\omega_{r}}$$

$$G\left(s\right)=\frac{K}{\omega_{a}-\omega_{r}}\left(\frac{1}{s-\omega_{a}}-\frac{1}{s-\omega_{r}}\right)$$

Figure: Risposta in frequenza di un sistema del secondo ordine.