Risposta alla rampa.

La funzione rampa è definita come:

$$x\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} 0\qquad\forall t\in\Re:t<0\\ At\qquad\forall t\in\Re:t\ge0\end{array}\right.$$

per cui si ha:

$$\mathcal{L}\left[x\left(t\right)\right]=\mathcal{L}\left(At\right... ...}dt=A\left[\frac{-ste^{-st}-e^{-st}}{s^{2}}\right]_{0}^{\infty}=\frac{A}{s^{2}}$$

se $y\left(0\right)=0$, il sistema è descritto dalla:

$$\tau_{0}sY\left(s\right)+Y\left(s\right)=\frac{KA}{s^{2}}$$

cioè:

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)X\left(s\right)=\frac{A}{s^{2}}\cdot\frac{K}{\tau_{0}\left(s+\frac{1}{\tau_{0}}\right)}$$

$$Y\left(s\right)=\frac{a}{s^{2}}+\frac{b}{s}+\frac{c}{\tau_{0}s+1}$$

e come calcolato in precedenza:

$$a\left(\tau_{0}s+1\right)+s\left(\tau_{0}s+1\right)b+cs^{2}=KA$$

$$a\tau_{0}s+a+b\tau_{0}s^{2}+bs+cs^{2}=KA$$

$$a=KA$$

$$a\tau_{0}+b=0$$

$$b\tau_{0}+c=0$$

dalle quali:

$$b=-\tau_{0}KA$$

$$c=\tau_{0}^{2}KA$$

cioè:

$$Y\left(s\right)=KA\left(\frac{1}{s^{2}}-\frac{\tau_{0}}{s}+\frac{\tau_{0}}{s+\frac{1}{\omega_{0}}}\right)$$

antitrasformando si ottiene:

$$y\left(t\right)=KA\left(t-\tau_{0}+\tau_{0}e^{-\frac{t}{\tau_{0}}}\right)$$

$$y\left(t\right)=KA\left[t-\omega_{0}\left(1-e^{-\frac{t}{\omega_{0}}}\right)\right]$$