Risposta al gradino.

La trasformata di Laplace della funzione a gradino è:

$$X\left(s\right)=\frac{A}{s}$$

per cui il sistema è descritto da:

$$\left(\tau_{0}s+1\right)Y\left(s\right)=KA\frac{1}{s}$$

per cui:

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)X\left(s\right)=\frac{A}{s}\cdot\frac{K}{\tau_{0}\left(s+\frac{1}{\tau_{0}}\right)}$$

la precedente può essere scritta come:

$$Y\left(s\right)=\frac{a}{s}+\frac{b}{\tau_{0}s+1}$$

dove i coefficienti $a$e $b$ si trovano dal confronto tra polinomi:

$$\omega_{0}sa+a+sb=KA$$

ovvero:

$$\tau_{0}a+b=0$$

$$a=KA$$

cioè:

$$b=-\tau_{0}KA$$

ed infine:

$$Y\left(s\right)=\frac{KA}{s}-\frac{KA}{s+\frac{1}{\tau_{0}}}$$

antitrasformando si ottiene:

$$y\left(t\right)=KA\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_{0}}}\right)$$