Strumenti indicatori magnetoelettrici.

Sono strumenti nei quali il campo magnetico è generato da un magnete permanente fisso che crea un'azione motrice su di una o più bobine mobili libere di muoversi e percorse da corrente continua. Per questo motivo si chiamano anche strumenti a magnete permanente e bobina mobile. L'equipaggio mobile è costituito da un telaio di alluminio di dimensioni $l\times d$ sul quale viene avvolta una bobina. Quest'ultima è costituita da un filo di rame isolato ed avvolto su $N$ spire. Il telaio, elettricamente isolato dalla bobina e di forma cilindrica, costituisce un supporto per quest'ultima nonché fornisce l'effetto smorzante essendo realizzato con un materiale conduttore ed attraversato dalle linee di forza di un campo magnetico uniforme. Il nucleo ferromagnetico è costruito in modo da rendere radiale il campo magnetico al traferro. Se si utilizzassero espansioni polari di forma parallelepipeda si avrebbe un andamento del flusso d'induzione magnetica disuniforme al traferro del tipo di figura a)

Figure: Espansioni polari.

Una bobina immersa in un siffatto campo è soggetta ad una forza che varia con l'angolo formato tra le linee di forza, in questo caso coincidenti con le rette tangenti, e l'asse della bobina stessa. Se invece le espansioni polari sono realizzate come in figura b), le linee di flusso hanno andamento radiale passando per l'asse dell'equipaggio mobile di forma cilindrica, e la bobina vede andare le linee di forza del campo magnetico sempre allo stesso modo indipendentemente dall'angolo di rotazione. Come si vede qualsiasi posizione angolare si trovi la bobina, il flusso che attraversa il traferro e la bobina stessa è praticamente sempre uguale. Si indica con $l$ la lunghezza del lato attivo di detta bobina, ovvero il lato parallelo ai perni dell'equipaggio mobile e che taglia le linee di forza del campo magnetico in direzione ad esse ortogonale. Il campo magnetico d'induzione $\overrightarrow{B}$ è costante e se si sviluppa il traferro su un piano, questo può dirsi anche uniforme. Esso è prodotto dalle espansioni polari N e S di un magnete permanente. Lo strumento è necessariamente sede di un transitorio: all'inizio lo strumento è in equilibrio poiché nella bobina dell'equipaggio mobile è:

$$I=0$$

Quando viene applicato un gradino di corrente, dato che lo strumento è costituito da un sistema del 2^&cir#circ; ordine, la risposta sarà del tipo di figura .

Figure: Risposta indiciale dello strumento di misura.

L'equilibrio meccanico fornisce il legame tra le varie coppie di cui si è parlato fin'ora e la soluzione della seguente equazione differenziale a coefficienti costanti del secondo ordine fornisce l'andamento dello spostamento angolare $\delta$ nel tempo:

$$T_{m}=J\frac{d^{2}\delta}{dt}+b\frac{d\delta}{dt}+k\delta$$

il primo termine del secondo membro $T_{i}$ è relativo all'inerzia dell'equipaggio mobile, il secondo alla coppia d'attrito e di smorzamento $T_{f}+T_{s}$, il terzo alla coppia antagonista $T_{r}$. Questo modello rappresenta la realtà fisica del fenomeno e tale equazione deve essere applicata a tutti gli strumenti di questo tipo. Esaurito il transitorio, i termini alle derivate si annullano e rimane:

$$T_{m}=k\delta=T_{r}$$

cioè la condizione di equilibrio meccanico. La coppia motrice $T_{m}$ è dovuta alla forza $F_{m}$ che agisce sui lati attivi della bobina mobile e risulta ortogonale al piano contenente la bobina stessa. Questa forza è espressa dalla relazione:

$$d\overrightarrow{F}_{m}=NId\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}$$

cioè lungo tutto il lato attivo:

$$\overrightarrow{F}_{m}=NI\cdot\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}$$

ma essendo l'elemento di corrente $I\overrightarrow{l}$ perpendicolare al campo d'induzione $\overrightarrow{B}$ si può passare ai moduli e dire:

$$F_{m}=NBIl$$

dalla quale si ottiene il modulo della forza motrice:

$$T_{m}=F_{m}\frac{D}{2}$$

dove $D$ è la lunghezza del lato della bobina lungo il raggio dell'equipaggio mobile, cioè:

$$T_{m}=NBIl\frac{D}{2}=K_{m}I$$

dove:

$$K_{m}=\frac{NBlD}{2}$$

da queste relazioni si nota che la coppia motrice $T_{m}$ è proporzionale alla corrente che scorre nella bobina. Per effetto della $T_{m}$, l'equipaggio mobile tende a ruotare di un angolo $\delta$ rispetto alla condizione di zero iniziale. La coppia $T_{r}$, generata dalle molle antagoniste a spirale piana, risulta proporzionale tramite un fattore $k$, all'angolo di deflessionene $\delta$, cioè:

$$T_{r}=k\delta$$

la condizione di equilibrio è:

$$K_{m}I=k\delta$$

dalla quale si deduce:

$$\delta=\frac{K_{m}}{k}I$$

cioè:

$$\delta\propto I$$

in questi strumenti la rotazione della bobina mobile e quindi la deviazione angolare $\delta$ è direttamente proporzionale alla corrente continua $I$ che scorre nella bobina stessa che interessa lo strumento. Considerando inoltre che la lettura è:

$$\lambda=h\delta$$

con $h$ lunghezza dell'indice, si deduce che anche $\lambda$ è proporzionale a tale corrente:

$$\lambda=h\frac{K_{m}}{k}I=K_{s}I$$

la scala dello strumento è quindi lineare e può essere tarata in $A$o $mA$.