Amperometri elettrodinamici.

Figure: Schema di principio di un voltmetro elettrodinamico.

Disponendo di due bobine in serie, la corrente che può percorrerle e che quindi può essere misurata, è limitata ( $0.1A\div0.2A$) dal fatto che essa deve passare attraverso le molle antagoniste. Per tale motivo la realizzazione dell'amperometro prevede il collegamento in parallelo delle due bobine. Indicando con:

$R_{m}$

resistenza della bobina mobile; $X_{m}=\omega L_{m}$

Essendo le bobine in parallelo, si ha:

$$\bar{V}=\bar{Z}_{f}I_{f}=\bar{Z}_{m}I_{m}$$

ed anche, detta $\bar{I}$ la corrente da misurare:

$$\bar{I}=\bar{I}_{f}+\bar{I}_{m}=\bar{V}\left(\frac{1}{\bar{Z}_{f}}+\frac{1}{\bar{Z}_{m}}\right)$$

Figure: Circuito equivalente dell'amperometro elettrodinamico.

L'impedenza offerta dallo strumento è:

$$\bar{Z}=\frac{\bar{Z}_{f}\bar{Z}_{m}}{\bar{Z}_{f}+\bar{Z}_{m}}$$

cioè:

$$\bar{Z}=\frac{\left(R_{f}+j\omega L_{f}\right)\left(R_{m}+j\omega... ...\left(R_{m}+j\omega L_{m}\right)}{R_{f}+R_{m}+j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)}=$$

$$=\frac{R_{f}R_{m}-\omega^{2}L_{f}L_{m}+j\omega\left(R_{f}L_{m}+R_{m}L_{f}\right)}{R_{f}+R_{m}+j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)}$$

moltiplicando numeratore e denominatore per $R_{f}+R_{m}-j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)$, si ha:

$$\bar{Z}=\frac{R_{f}R_{m}-\omega^{2}L_{f}L_{m}+j\omega\left(R_{f}L... ...-j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)}{R_{f}+R_{m}-j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)}=$$

$$=\frac{\left[R_{f}R_{m}-\omega^{2}L_{f}L_{m}+j\omega\left(R_{f}L_... ...t)\right]}{\left(R_{f}+R_{m}\right)^{2}+\omega^{2}\left(L_{f}+L_{m}\right)^{2}}$$

ed ancora:

$$\Re\left(\bar{Z}\right)=\frac{R_{f}^{2}R_{m}+R_{f}R_{m}^{2}+\omeg... ...2}\right)}{\left(R_{f}+R_{m}\right)^{2}+\omega^{2}\left(L_{f}+L_{m}\right)^{2}}$$

$$\Im\left(\bar{Z}\right)=\frac{\omega\left[R_{f}^{2}L_{m}+R_{m}^{2... ...t)\right]}{\left(R_{f}+R_{m}\right)^{2}+\omega^{2}\left(L_{f}+L_{m}\right)^{2}}$$

lo sfasamento della corrente $\bar{I}$ è:

$$\varphi=\arctan\frac{\Im\left(\bar{Z}\right)}{\Re\left(\bar{Z}\ri... ...}\left(R_{f}+R_{m}\right)+\omega^{2}\left(R_{f}L_{m}^{2}+R_{m}L_{f}^{2}\right)}$$

mentre le singole correnti hanno rispetto a $\bar{V}$ sfasamenti pari a:

$$\varphi_{f}=\arctan\frac{\omega L_{f}}{R_{f}}$$

$$\varphi_{m}=\arctan\frac{\omega L_{m}}{R_{m}}$$

Figure: Grafici dei fasori. a) generico, b) con $\frac{X_{m}}{R_{m}}=\frac{X_{f}}{R_{f}}$.

se si costruisce lo strumento in modo che sia:

$$\frac{X_{m}}{R_{m}}=\frac{X_{f}}{R_{f}}$$

si ha:

$$\frac{L_{m}}{R_{m}}=\frac{L_{f}}{R_{f}}$$

ovvero:

$$\frac{R_{f}}{R_{m}}=\frac{L_{f}}{L_{m}}=k$$

le correnti risultano in fase tra di loro e l'angolo che formano tra di esse è:

$$\varphi=0$$

di conseguenza:

$$I_{f}=\frac{V}{Z_{f}}=\frac{V}{\sqrt{R_{f}^{2}+\omega^{2}L_{f}^{2}}}$$

e:

$$I_{m}=\frac{V}{Z_{m}}=\frac{V}{\sqrt{R_{m}^{2}+\omega^{2}L_{m}^{2}}}$$

Figure: Teorema di Norton. $\bar{E}=\bar{I}\bar{Z}_{f}$

poichè lo sfasamento tra le due correnti è nullo si può scrivere:

$$\bar{I}_{m}=\bar{I}\frac{R_{f}+j\omega L_{f}}{R_{f}+R_{m}+j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)}$$

$$\bar{I}_{f}=\bar{I}\frac{R_{m}+j\omega L_{m}}{R_{f}+R_{m}+j\omega\left(L_{f}+L_{m}\right)}$$

ovvero:

$$\bar{I}_{m}=\bar{I}\frac{R_{f}\left(1+j\omega\frac{L_{f}}{R_{f}}\... ...omega\frac{L_{f}}{R_{f}}\right)+R_{m}\left(1+j\omega\frac{L_{m}}{R_{m}}\right)}$$

$$\bar{I}_{f}=\bar{I}\frac{R_{m}\left(1+j\omega\frac{L_{m}}{R_{m}}\... ...omega\frac{L_{f}}{R_{f}}\right)+R_{m}\left(1+j\omega\frac{L_{m}}{R_{m}}\right)}$$

come si è detto, per questi strumenti si hanno coefficienti di autoinduzione per gli avvolgimenti molto piccoli, per cui si può dire in prima approssimazione che è:

$$\frac{L_{m}}{R_{m}}=\frac{L_{f}}{R_{f}}\ll1$$

per cui le espressioni delle correnti divengono:

$$\bar{I}_{m}=\bar{I}\frac{R_{f}}{R_{f}+R_{m}}$$

e:

$$\bar{I}_{f}=\bar{I}\frac{R_{m}}{R_{f}+R_{m}}$$

per cui la coppia motrice è:

$$T_{m}=K_{m}I_{f}I_{m}\cos\varphi=K_{m}\frac{R_{f}R_{m}}{\left(R_{f}+R_{m}\right)^{2}}I^{2}$$

ovvero, ponendo:

$$K_{am}=K_{m}\frac{R_{f}R_{m}}{\left(R_{f}+R_{m}\right)^{2}}$$

si ha:

$$T_{m}=K_{am}I^{2}$$

cio è la coppia motrice è proporzionale al quadrato della corrente efficace misurata. Al solito è:

$$T_{m}=T_{r}$$

$$K_{am}I^{2}=K_{r}\delta$$

$$\delta=\frac{K_{am}}{K_{r}}I^{2}$$

la lettura $\lambda$, essendo:

$$\lambda=h\delta$$

è:

$$\lambda=h\frac{K_{am}}{K_{r}}I^{2}$$