Sensibilità statica dell'oscilloscopio.

Figure: Schema di principio del sistema di accelerazione e deflessione degli elettroni. Si considera $\frac{l}{2}\ll L$.

Al fine di calcolare la traiettoria del fascio elettronico si formulano le seguenti ipotesi:

• fascio elettronico di spessore trascurabile rispetto alla sua lunghezza;
• le placchette di deflessione costituiscono le armature di un condensatore piano;
• gli elettroni hanno velocità solo in direzione dell'asse $z$ che è l'asse del tubo;
• alle placchette di deflessione è applicata una tensione costante $v_{y}$.

Trascurando gli effetti di bordo, del condensatore piano costituito dalle placchette di deflessione, è presente un campo elettrico uniforme di modulo:

$$\vec{E}_{d}=\hat{j}\frac{\vec{V}_{y}}{d}$$

dove $d$ è lo spazio tra le placchette. Il verso di detto campo è opposto a quello dell'asse $\textrm{y}$ poichè si deve imprimere all'elettrone un'accelerazione nel verso di $y$ par, in modulo, a:

$$\vec{a}_{e}=\frac{\vec{F}}{m_{e}}=\frac{e\vec{E}_{d}}{m_{e}}=\hat{j}\frac{eV_{y}}{m_{e}d}$$

da questo si capisce che il moto dell'elettrone è uniforme lungo l'asse $z$ ma è uniformemente accelerato lungo l'asse $y$. La legge oraria che ne risulta è:

$$\left\{ \begin{array}{l} y\left(t\right)=\frac{1}{2}a_{ey}t^{2}=\frac{eV_{y}}{2m_{e}d}t^{2}\\ z\left(t\right)=u_{z}t\end{array}\right.$$

essendo $u_{z}$ la componente della velocità dell'elettrone in direzione dell'asse $z$. La traiettoria dell'elettrone si ottiene eliminando $t$ tra le precedenti:

$$t=\frac{z\left(t\right)}{u_{z}}=\frac{z}{u_{z}}$$

e sostituendo nella prima, si ha:

$$y=\frac{eV_{y}z^{2}}{2m_{e}u_{z}^{2}d}$$

la quale è una parabola di vertice $A$. Il punto $A$ è anche quello d'inizio della traiettoria curvilinea, esso si trova lungo l'asse $z$ in corrispondenza dell'inizio delle placchete di deflessione verticale. Poichè, per ipotesi, è:

$$\frac{l}{2}\ll L$$

la posizione dell'origine degli assi è indifferente purché rimanga all'interno del volume compreso tra le due placchette di deflessione verticale e l'asse $z$. Trascurando gli effetti di bordo, come già accennato, il campo elettrico termina con il profilo delle placchette e con esso l'accelerazione: appena l'elettrone esce dalla zona sottesa dalle placchette, prosegue con traiettoria rettilinea data dalla tangente alla parabola nel punto:

$$z=l$$

$$\left.\frac{dy}{dz}\right\vert _{z=l}=\frac{eV_{y}l}{m_{e}u_{z}^{2}d}$$

e l'equazione della retta è:

$$y=\frac{eV_{y}l}{m_{e}u_{z}^{2}d}z+q$$

la retta infatti passerà per il punto $T$ cioè:

$$T=\left(l,\frac{eV_{y}l^{2}}{2m_{e}u_{z}^{2}d}\right)$$

per cui:

$$\frac{eV_{y}l^{2}}{m_{e}u_{z}^{2}d}+q=\frac{eV_{y}l^{2}}{2m_{e}u_{z}^{2}d}$$

$$q=-\frac{eV_{y}l^{2}}{2m_{e}u_{z}^{2}d}$$

ed infine:

$$y=\frac{eV_{y}l}{m_{e}u_{z}^{2}d}z-\frac{eV_{y}l^{2}}{2m_{e}u_{z}^{2}d}$$

$$y=\frac{eV_{y}l}{m_{e}u_{z}^{2}d}\left(z-\frac{l}{2}\right)$$

Tale retta passa per il baricentro del volumetto compreso tra le placchette. L'intersezione tra questa retta e quella parallela all'asse delle $y$ distante $L+\frac{l}{2}$ da origine al punto $D$ sullo schermo:

$$D=\left(L+\frac{l}{2},\frac{eV_{y}l}{m_{e}u_{z}^{2}d}L\right)$$

Se si indica con $V_{a}$ la tensione applicata che fornisce la necessaria accelerazione al generico elettrone lungo l'asse $z$ prima che questo entri nella zona di deflessione, si ha:

$$\frac{1}{2}m_{e}u_{z}^{2}=eV_{a}$$

cioè l'energia fornita dal campo elettrico generato da $V_{a}$ si trasforma completamente in energia cinetica dell'elettrone, per cui:

$$u_{z}^{2}=\frac{2eV_{a}}{m_{e}}$$

per cui il punto $D$ ha coordinate:

$$D=\left(L+\frac{l}{2},\frac{lL}{2d}\cdot\frac{V_{y}}{V_{a}}\right)$$

Definition 7.9   Si definisce sensibilità statica del tubo la grandezza:

$$S_{y}=\frac{D_{y}}{V_{y}}=\frac{lL}{2dV_{a}}$$

e quindi a parità di tensione applicata $V_{y}$, il tubo più sensibile presenterà una maggiore deflessione. E' importante aumentare la quantità $D_{y}$ per aumentare la sensibilità del tubo. Al diminuire di $V_{a}$ si ha un aumento della sensibilità, se tale tensione è troppo bassa, gli elettroni sarebbero assorbiti dalle placchette di deflessione senza raggiungere lo schermo.

Definition 7.9   Si definisce coefficiente di deflessione la grandezza:

$$K_{y}=\frac{1}{S_{y}}$$