La propagazione degli errori assoluti e relativi.

Quando una grandezza $y$ è funzione di altre grandezze:

$$y=f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$$

ed il suo valore viene ricavato dalla misura di tali grandezze $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$, interessa conoscere l'errore che si commette su $y$ essendo noti gli errori che si commettono sulle misure effettuate sulle grandezze. Se gli errori sono sufficientemente piccoli, essi possono essere considerati come infinitesimi:

$$e_{1}=dx_{1}\qquad e_{2}=dx_{2}\qquad\ldots\qquad e_{n}=dx_{n}$$

il differenziale totale è la legge di propagazione per gli errori assoluti:

$$e_{y}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}e_{i}=\frac{... ...{\partial f}{\partial x_{2}}e_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}e_{n}$$

da questa relazione di deduce la legge di propagazione degli errori relativi:

$$e_{ry}=\frac{1}{y}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\frac{\partial f}{\partial x... ...x_{2}}e_{r2}+\ldots+\frac{x_{n}}{y}\cdot\frac{\partial f}{\partial x_{n}}e_{rn}$$

quando non è noto il segno degli errori relativi si usa il criterio del caso peggiore sommando tutti i termini col segno positivo. In altri casi si cerca il valore più probabile dell'errore, il quale è definito come:

$$e=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}}=\sqrt{e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+\ldots+e_{n}^{2}}$$

nel caso della somma:

$$e=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(e_{rii}x_{i}\right)^{2}}=\sqrt{\left(... ...1}\right)^{2}+\left(e_{r2}x_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(e_{rn}x_{n}\right)^{2}}$$