Incertezza espansa.

Può essere utile fornire l'incertezza in modo tale da poter affermare che una certa percentuale di valori misurati sia contenuta in un certo intervallo dichiarato. In alcune applicazioni è preferibile dare una misura dell'incertezza che definisca un intervallo intorno al risultato della misura entro cui ci si aspetta che entri una certa percentuale di tutti i valori di misura che possono essere ragionevolmente assegnati al misurando. Questo tipo d'incertezza è noto come incertezza espansa ed è espressa come:

$$U=K_{P}u\left(x\right)$$

con:

$U$	incertezza espansa; $u\left(x\right)$

$u\left(x\right)$incertezza standard. Il risultato della misura viene espresso come:

$$x=\overline{x}\pm U$$

all'incertezza standard si è sostituita quella espansa. Questo si traduce nel fatto che la migliore stima della grandezza $x$ è la sua media sperimentale e che una grande parte dei valori che possono essere attribuiti a $x$ stessa cadono nell'intervallo fissato:

$$\left[\overline{x}-U,\overline{x}+U\right]$$

nel caso di distribuzione gaussiana, cioè disponendo di infinite osservazioni, di valore atteso $\mu$ e deviazione standard $\sigma$, il livello di confidenza $p$ esprime la probabilità che un risultato cada nell'intervallo:

$$\mu\pm K_{p}\sigma$$

dal quale si ricava che il coefficiente di copertura $K_{P}$ è legato al livello di confidenza. E' noto dalla gaussiana che se si ha, ad esempio, un valore pari a $3\sigma$ con $K_{P}=3$ significa che si considera quasi tutta l'area sottesa dalla curva della gaussiana stessa.

Si hanno i seguenti dati:

Livello di confidenza %

Fattore di copertura $K_{P}$ 68.27

Se si volesse definire un'incertezza espansa, in presenza di un numero finito di osservazioni, sull'esempio precedente ossia un intervallo entro cui è ragionevole che cada il $95\%$dei risultati della prova, si potrebbe utilizzare $K_{P}=2$ e scrivere:

$$U=K_{P}u\left(x\right)=\pm2\cdot0.1=\pm0.2mA$$

in questo caso $K_{P}=2$ sarebbe sbagliato, questo valore assume significato solo per un numero infinito di osservazioni. Per un numero finito di osservazioni ci si trova davanti ad un problema nella determinazione dei livelli di confidenza: non si riesce a trovare un coefficiente adeguato che permetta di esprimere l'incertezza espansa. Nel caso di un numero finito $n$ di osservazioni si usa la distribuzione di Student della variabile $t$:

$$t=\frac{\overline{x}-x}{s\left(\overline{x}\right)}$$

Per ipotesi è data una distribuzione gaussiana di $x$. Dallo studio della distribuzione di probabilità di Student si può determinare un coefficiente $T_{P}$ che ha la stessa funzione di $K_{P}$ della gaussiana.

Con il valore di copertura $u$ già definito si mette insieme incertezza espansa e copertura. Nel caso in cui $y$ dipende da altre grandezze:

$$y=f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$$

l'incertezza si può esprimere come:

$$U=K_{P}u_{c}\left(y\right)$$

se:

$$y=\sum_{i=1}^{n}c_{i}x_{i}=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots+c_{n}x_{n}$$

la distribuzione di probabilità $y$ può essere ricavata effettuando un'operazione di convoluzione tra le probabilità note delle $x_{i}$ e quindi si può determinare un $K_{P}$secondo uno specificato livello di confidenza $p.$ Se non si conoscono tutte le $x_{i}$ (distribuzioni) perché non tutte sono gaussiane, allora si ricorre al teorema del limite centrale, che rende gaussiana la distribuzione.

Theorem 4.3   del limite centrale. Se le singole $x_{i}$ hanno distribuzione gaussiana anche la $y$ ha distribuzione gaussiana; se le singole $x_{i}$ non hanno distribuzione gaussiana, la distribuzione delle $y$ tende ad essere gaussiana con valore atteso:

$$E\left(y\right)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}E\left(x_{i}\right)$$

e varianza:

$$\sigma^{2}\left(y\right)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2}\sigma^{2}\left(x_{i}\right)$$

valide se le $x_{i}$ sono indipendenti e se $\sigma^{2}\left(y\right)$ è molto più grande delle singole componenti $c_{i}^{2}\sigma^{2}\left(x_{i}\right)$.