In questa pagina ho raccolto alcuni appassionanti giochi logici e matematici, che potrete riproporre ai vostri amici riscuotendo un notevole successo. Questi problemi metteranno alla prova la vostra intelligenza, ed alcuni di essi probabilmente vi sorprenderanno. La soluzione di questi giochi in generale non richiede alcuna conoscenza di matematica superiore, infatti per risolverli sono necessari pochissimi e semplici calcoli (o addirittura nessuno), ma la soluzione è legata essenzialmente al modo di ragionare. Un consiglio che posso darvi, per aiutarvi a risolvere gli enigmi è di leggere molto attentamente il testo del problema, in quanto spesso vengono date risposte sbagliate, perché si è frainteso quello che il problema richiedeva.
La provenienza di questi giochi è varia: la maggior parte dei problemi mi è stata proposta in diverse occasioni da vari amici e conoscenti; altri, invece, (quelli di cui è riportata la fonte) provengono da libri che trattano questo argomento. Ovviamente sono disponibili anche le soluzioni.
Agli appassionati del genere consiglio il newsgroup it.hobby.enigmi.
Potete anche scaricare tutti gli enigmi, per leggerli off-line: enigmi.zip (52 kb).
Una piccola città, in qualche sperduto luogo della terra, è infestata dai lupi mannari, cioè ci sono alcune persone che durante le notti di luna piena si trasformano in lupi feroci. Si può quindi ragionevolmente pensare che almeno uno degli abitanti di questo strano luogo sia un lupo mannaro. Per fare fronte a questa situazione il sindaco della cittadina emette un'ordinanza, la quale prevede che ogni cittadino che sappia di essere un lupo mannaro, si debba uccidere appena lo scopre. Dato che gli abitanti del luogo sono tutti dei cittadini rispettosi delle leggi, si può dare per certo che effettivamente ogni abitante che scopra di essere un lupo mannaro si uccida. Purtroppo però, un lupo mannaro non si accorge di esserlo e quindi lo può solo capire dall'ossevazione di quello che gli sta intorno. A questo punto occorre ricordare che tutte le notti, e quindi in particolare quelle di plenilunio, ogni cittadino incontra tutti gli altri, e pertanto è in grado di vedere i lupi mannari anche se non può comunicare con loro. Dopo la terza notte di luna piena vengono ritrovati i cadaveri di alcuni lupi mannari. Voi dovete scoprire quanti sono i lupi ritrovati e soprattutto perchè sono stati ritrovati soltanto dopo la terza notte, mentre nelle due precedenti non si è avuto alcun ritrovamento.
2. La scacchiera mutilata
(tratto da "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner)
I materiali per questo problema sono una scacchiera e 32 pezzi di domino. Ogni pezzo di domino è di dimensioni tali da coprire esattamente due quadrati adiacenti della scacchiera. Perciò i 32 pezzi possono coprire tutte le 64 caselle della scacchiera. Supponiamo ora di eliminare le due caselle sistemate agli angoli opposti di una diagonale e di eliminare un pezzo di domino. È possibile sistemare i 31 pezzi rimanenti sulla scacchiera in modo da coprire i rimanenti 62 quadretti? Se sì, mostrare come si può fare; se no, dimostrare l'impossibilità.
Immaginate di avere una corda lunga quanto la circonferenza terrestre (cioè all'incirca 40000 km), che si trova distesa lungo l'equatore. Immaginate ora di prendere questa corda, di tagliarla, di aggiungervene un metro e quindi di ridistribuirla attorno all'equatore in modo che abbia una distanza dalla superficie terrestre che rimanga costante lungo tutta la circonferenza. La domanda a cui dovete cercare di rispondere è: quale dei seguenti tre animali può passare di misura nello spazio interposto tra la corda e la superficie: una formica, un gatto o un elefante?
Ci sono tre amici che si trovano una sera e decidono di andare insieme a cena in un ristorante della loro città. Alla fine della cena, chiedono naturalmente il conto al cameriere, che immediamente porta loro un biglietto dal quale risulta che la spesa complessiva ammonta a 30000 lire (i prezzi ovviamente si riferiscono a qualche anno fa). A questo punto i tre amici estraggono ognuno una banconota da 10000 lire e la porgono al cameriere, lamentanosi però perchè trovano il conto piuttosto caro, e chiedono quindi al cameriere di andare dal suo capo per chiedere un piccolo sconto. Il cameriere si reca allora dal direttore riferendo quanto gli è stato detto, e quest'ultimo decide di accettare la richiesta applicando uno sconto di 5000 lire. Subito dopo il cameriere prende 5 pezzi da 1000 lire dalla cassa e li riporta ai tre amici, i quali decidono di riprendere 1000 lire a testa e lasciano le restanti 2000 al cameriere come mancia, in segno della sua disponibilità. Usciti dal locale i tre amici cominciano a fare i conti: dunque, ognuno di loro ha in pratica speso 9000 lire, per un totale di 27000 lire, più le 2000 date al cameriere si arriva ad una somma di 29000, ma dove sono finite le restanti 1000 lire che mancano alle 30000 iniziali?
Una ninfea cade in un lago. Ogni giorno raddoppia la sua superficie e in 100 giorni copre tutta la superficie del lago. Quanti giorni ha impiegato per coprire la metà del lago?
Avete a disposizione due taniche inizialmente vuote la cui capacità è rispettivamente di 3 e 5 litri. Avendo a disposizione tutta l'acqua che desiderate, e potendo riempire e vuotare le taniche, oltre che potere trasferire acqua da una all'altra, dovete mettere esattamente 4 litri di acqua dentro la tanica da 5. Come bisogna procedere?
7. Acqua e vino
(tratto da "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner)
Immaginate di avere davanti due caraffe, contenenti un litro d'acqua l'una, un litro di vino l'altra. Un centimetro cubo d'acqua viene passato nella caraffa del vino ed il vino e l'acqua mescolati completamente. Poi un centimetro cubo di miscela viene ripassato nell'acqua. Vi è ora più acqua nel vino che vino nell'acqua? O viceversa?
Un altro interessante problema connesso a questo è il seguente:
Ammesso che all'inizio una caraffa contenga 10 litri di acqua e l'altra 10 litri di vino, trasferendo 3 litri avanti e indietro un numero qualsivoglia di volte e agitando dopo ogni trasferimento, è possibile raggiungere uno stato in cui la percentuale nelle due miscele sia la stessa?
Due treni partono contemporaneamente, uno dalla stazione di Milano diretto a Bologna e l'altro dalla stazione di Bologna diretto a Milano. Questi due treni non effettuano fermate intermedie e si può supporre che entrambi si muovano con una velocità costante di 100 km/h. Nello stesso istante in cui i due treni partono, una mosca che si era posata sulla locomotiva del treno di Milano, spaventata dal movimento, prende il volo e e comincia a percorrere i binari che portano a Bologna, con una velocità di 120 km/h. La mosca, terrorizzata ed intontita, continua il suo cammino lungo i binari, fino ad incontrare il treno partito da Bologna. A questo punto, la mosca, presa dal panico, inverte la rotta e si dirige di nuovo verso Milano, sempre con la stessa velocità. In seguito, quindi, la mosca continua il suo viaggio, invertendo la sua direzione ogni volta che incontra uno dei due treni. A causa di un errore sugli scambi ferroviari, i due treni sono destinati a scontrarsi frontalmente (di questi tempi non è neppure così insolito), e di conseguenza per la povera mosca si prospetta una brutta fine. Supponendo, con una piccola approssimazione, che la distanza Milano - Bologna sia esattamente di 200 km, qual è lo spazio totale percorso dalla mosca prima di rimanere schiacciata tra i due treni?
I punti che vedete in figura sono disposti lungo una griglia ortogonale, cioè gli otto punti più esterni giacciono sul perimetro di un quadrato, mentre il restante al centro del quadrato stesso. Il problema consiste nel coprire questi nove punti con quattro segmenti di retta senza mai staccare la penna dal foglio.
10. Il ciclista
(tratto da "Matematica dell'incertezza" di Giuliano Spirito)
Un ciclista scala una montagna alla media di 20 km/h , e poi, giunto in cima, gira la bicicletta e ridiscende a valle (seguendo la stessa strada) ad una media di 60 km/h. Qual è la media complessiva tenuta dal ciclista, durante tutto il suo viaggio?
Avendo a disposizione sei fiammiferi provate a formare quattro triangoli equilateri, senza piegarli o spezzarli, .
12. La diagonale del rettangolo
Un rettangolo è inscritto in un quadrante di cerchio come mostrato in figura. Determinate con esattezza la lunghezza della diagonale AC, sapendo che il cerchio ha raggio unitario.
Un tale possiede una catena d'oro composta da sette anelli e non richiusa su se stessa. Un giorno, spinto dal bisogno, è costretto a chiedere in prestito un cavallo ad un suo conoscente per sette giorni. In cambio però, quest'ultimo vuole la catena d'oro e chiede di venir ricompensato con un anello al giorno, per ognuno dei sette giorni. Qual è il numero minimo di anelli della catena che occorre rompere perchè questo sia possibile?
E se invece la catena fosse composta di 30 anelli e gli scambi avenissero in 30 giorni?
Si hanno quattro palline che sono uguali nell'aspetto, ma una di esse ha un peso diverso. Si deve individuare questa pallina avendo a disposizione una bilancia a due piatti. Qual è il numero minimo di pesate che occorre effettuare per risolvere il problema.
Due vecchi amici matematici si ritrovano dopo molti anni, e discorrono per un po'. Il primo fa: "Allora hai tre figli? E quanti anni hanno?". L'altro risponde: "Considerando le loro età come numeri interi, il loro prodotto è 36, e la somma è il numero civico di questa casa qui davanti". Il primo ci pensa un po' e sbotta: "Beh, non mi hai certo dato dei dati sufficienti!" e il secondo ribatte: "Hai ragione: il maggiore ha gli occhi azzurri". Quali sono le età dei tre figli?
Esistono moltissimi problemi sull'individuazione di monete con peso diverso. Eccone alcuni:
Avete dieci pile di dieci monete. Uno dei mucchietti è fatto tutto di monete false, ma non sapete quale; è noto però il peso di una moneta buona e che una moneta falsa pesa un grammo in più del dovuto. Le monete possono essere pesate con una bilancia a normale. Qual è il numero minimo di pesate necessarie a determinare qual è il mucchietto di monete false?
Si ha una bilancia a due piatti, e nove monete, una delle quali è leggermente più pesante delle altre. Qual è il numero minimo di pesate per stabilire qual è?
Sempre con una bilancia a due piatti, si hanno dodici monete, una delle quali è di peso leggermente diverso. Qual è il numero minimo di pesate per stabilire qual è?
Supponiamo di essere a un gioco a premi e di dovere scegliere quale porta aprire fra le tre proposte dal presentatore. Dietro una di queste c'e` un'auto, nelle altre due... una capra. Noi scegliamo una porta, e come capita in tutte le puntate, il presentatore ci dice "Ne sei proprio sicuro? Puoi ancora cambiare la scelta: anzi, ti voglio aiutare", e apre una delle porte che noi non abbiamo scelto, mostrando una capra. Ammesso che vogliamo vincere l'auto, ci conviene cambiare porta, o la cosa è indifferente?
Una spia cerca di capire la regola che associa parola e controparola d'ordine per l'ingresso in un centro segreto. Si nasconde dietro a un cespuglio ed osserva. Arriva un soldato, bussa al portone e da dentro una voce dice "12", il soldato risponde "6" e gli viene aperto. Poco dopo arriva un altro soldato, bussa e gli viene detto "8", lui risponde "4" ed entra. Un terzo soldato entra, dopo avere risposto "5" alla parola "10". A questo punto, la spia crede di aver capito tutto: si avvicina, bussa, le dicono "4", lui risponde "2" e gli sparano. Come mai? (Ovviamente esistono infinite risposte possibili: a noi interessa quella che si esprime con meno parole).
Ci sono 4 soldati che dopo una battaglia disastrosa stanno battendo in ritirata. Per scappare al nemico devono attraversare un ponte ma:
Un barbone raccoglie mozziconi di sigaretta e mettendone assieme 4 si costruisce una sigaretta (quasi) nuova. Se riesce a fumare 7 sigarette (quasi) nuove, qual è il numero minimo di mozziconi che deve aver trovato e quanti gliene rimangono alla fine?
Immaginate di avere un foglio di carta rettangolare spesso un decimo di millimetro e sufficientemente grande. Ora piegatelo a metą in modo da ottenere due mezzi fogli sovrapposti, quindi con uno spessore doppio. Continuate poi a piegare in due, ottenendo via via fogli sempre pił piccoli e spessori maggiori. Dopo 42 piegamenti, immaginate di salire sulla torre di carta che avete creato. Secondo voi di quanto vi potete innalzare?
1) Riuscite appena a fare uno scalino (circa 20 cm)
2) Arrivate al primo piano di una casa (circa 3 m)
3) Potete conquistare la cima dell'Everest (circa 8800 m)
4) Sarete il primo piegatore di carta sulla Luna (circa 385000 km)
P.S.: 42 non č un numero casuale, infatti č la Risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, l'Universo e Tutto quanto (v. Adams, Douglas). Usato come risposta standard nel caso non si sappia o non si voglia rispondere o come numero non-casuale.
Percorrendo un tratto autostradale alla velocitą costante di 120 km/h, un automobilista sorpassa, in 30 minuti, 50 camion che a loro volta marciano a una velocitą di 80 km/h. Ora, supponendo costanti tutte le velocitą in gioco e soprattutto mentenendo costanti i flussi di traffico, quanti camion percorrono quell'autostrada in un'ora? In poche parole un'ipotetica persona ferma al lato della strada quanti camion vedrebbe passare davanti a sč in un'ora?
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