Un' equazione è una scrittura che pone in eguaglianza 2 termini. Normalmente un' equazione contiene almeno un' incognita, cioè una quantità sconosciuta che si può determinare risolvendo l' equazione. Risolvere l' equazione significa infatti trovare i valori, che sostituiti all' incognita, verificano l' equazione. Una singola equazione si può risolvere propriamente solo se contiene una sola incognita, diversamente ci sono infinite soluzioni. Nel caso di 2 incognite queste infinite soluzioni possono essere considerate come coordinate di un punto nel piano (un' incognita rappresenta una coordinata, l' altra l' altra coordinata), nel caso di 3 come coordinate di un punto nello spazio.
Definizione di polinomio Il polinomio è un' espressione dove delle incognite si presentano legate tra loro ed eventualmente a numeri (o lettere che rappresentano questi numeri, cioè parametri) dalle sole operazioni addizione, sottrazione, moltiplicazione e potenza, ma nel caso dell' operazione potenza l' incognita può essere solo la base e l' esponente deve essere un numero naturale; i numeri però possono essere legati da qualsiasi operazione o funzione.
Esempi di polinomi:
6x7y2z-9x3z11-y+2xyz9-4
x+y-z+55
t+6s2+qstxy+xy-x2y2-t3s2x4y4
log(5)*xy6-3z+9*sen(4)*cos(6)*y7
Esempi di non polinomi:
4x+y+7*8z-xz-logzy*2x-2*sen(z)*yy
sen(x)+20xy*x-log(y)
5sq-8qs4
x3/2+y5z-xlog95+z8 Dalle definizioni sopra è chiaro che i polinomi non sono equazioni, possono però diventarlo ponendoli uguali a costanti; la cosa migliore è porli uguali a 0, perchè se scegliamo un' altra costante, come vedremo fra poco, possiamo comunque ottenere 0 da una parte dell' equazione se cambiamo il polinomio con un altro. Le scritture dove un polinomio è posto uguale a costante (di solito 0) si chiamano equazioni polinomiali.
Sopra ho detto che una singola equazione si può risolvere propriamente solo se contiene una sola incognita, quindi per trovare soluzioni dobbiamo considerare equazioni polinomiali con una sola incognita. Un polinomio in una variabile è un polinomio dove compare una sola incognita; il suo grado è il massimo numero naturale presente come esponente tra le operazioni potenza applicate all' incognita che è la base (ricordo che, chiamando l' incognita x, se compare x senza operazione potenza, il grado è 1, perché x1=x e se x non compare affatto il grado è 0, perché x0=1 e possiamo pensare 1 moltiplicato ad una costante (sempre 1)). Ponendo il polinomio uguale a costante otteniamo un' equazione polinomiale in una sola incognita; il suo grado è uguale al grado del polinomio.
Un polinomio in una variabile di grado n si rappresenta così:
a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn dove x è la variabile e i vari a sono costanti
Un' equazione polinomiale in una variabile di grado n di solito si rappresenta così:
a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1+anxn=0 dove x è la variabile e i vari a sono costanti
Esempi di polinomi in una variabile:
7x6-3x5+x-8 grado 6
(-5)x4-7x2+6x-1 grado 4
9t3-5t2-6 grado 3
cos(5,5)s2-3*sen(1)*s-3 grado 2
Esempi di equazioni polinomiali:
x3y2-45xy4-x-y+xy-99=5 ma questa è equivalente (come vedremo) a
x3y2-45xy4-x-y+xy-104=0
x2-y2+9xy+5=2 ma questa è equivalente (come vedremo) a
x2-y2+9xy+3=0
x3-y2z2-6x2yz3+sen(1,5)+log75=0
Esempi di equazioni polinomiali in una variabile:
x4-3x2+x-9=0 grado 4
t2+6t=0 grado 2
8s+log54+2=0 grado 1
Teorema fondamentale dell' algebra
Un' equazione polinomiale di grado n in una variabile ammette esattamente n soluzioni tra i numeri complessi, alcune di esse però possono coincidere.
Teorema
Se a è soluzione di un' equazione polinomiale in una variabile con coefficienti numeri reali, allora anche il coniugato (con a) è soluzione dell' equazione (però il coniugato di un numero reale è il numero stesso).
Da questo teorema si capisce che le soluzioni non reali di un' equazione polinomiale in una variabile con coefficienti reali compaiono a coppie di numeri coniugati tra loro. Sapendo questo è chiaro il seguente teorema.
Teorema
Un' equazione polinomiale in una variabile con coefficienti reali di grado dispari ha almeno una soluzione reale.
Risolvere equazioni
Risolvere equazioni in certi casi è molto difficile, ma il più delle volte si riesce a farlo utilizzando la seguente regola. Se ad un' equazione applichiamo una certa operazione con una certa quantità sia al termine sinistro sia al termine destro, la nuova equazione è equivalente alla precedente.
Se a=b, allora
a+c=b+c
a-c=b-c
a*c=b*c
a/c=b/c
ac=bc a=b
logca=logcb
Sembra strano? Facciamo questo ragionamento intuitivo. Se una prima quantità è uguale ad una seconda, allora aggiungendo alla prima una terza e alla seconda la stessa terza quantità, le nuove quantità ottenute saranno uguali tra loro. Se una prima quantità è uguale ad una seconda, allora moltiplicando la prima e la seconda un certo numero di volte (lo stesso), le nuove quantità ottenute saranno uguali tra loro. Lo stesso ragionamento vale per tutte le altre operazioni. Usando questa regola dobbiamo cercare di isolare l' incognita e di portare tutte le quantità note dall' altra parte. Una volta trovata la soluzione possiamo verificare se è corretta sostituendola all' incognita e svolgendo i calcoli: se otteniamo da entrambe le parti dell' equazione lo stesso valore (ad esempio 0=0), la soluzione è corretta.
Esempi (dopo la sbarretta / indico l' operazione che viene svolta ad entrambi i membri):
x2-36=0 /+36
(x2-36)+36=0+36
x2+36+(-36)=36
x2+(36-36)=36
x2=36 / (x2)=±36
(x2)1/2=±6
x2(1/2)=±6
x1=±6
x=±6
x1=6
x2=-6
Ho scritto ± per poter trovare tutte le soluzioni dell' equazione polinomiale (vedere il teorema fondamentale dell' algebra), per definizione 36 è un numero (vedere a tal proposito l' inizio della pagina Soluzioni delle equazioni xn=1).
Nell' equazione sopra siamo stati in grado di isolare x perché compariva soltanto x2, ma non x; se così fosse stato non avremmo potuto applicare la regola per risolvere le equazioni. Vediamo perché in un esempio:
x2-5x+6=0 /-x2
(x2-5x+6)-x2=-x2
x2+(-x2)+(-5x)+6=-x2
(x2-x2)+(-5x)+6=-x2
0+(-5x)+6=-x2
-5x+6=-x2/*(-1)
(-5x+6)(-1)=(-x2)(-1)
(-5x)(-1)+6(-1)=-(-x2)
(-(-5x))+(-6)=x2
5x-6=x2 /+6
(5x-6)+6=(x2)+6
5x+(-6)+6=x2+6
5x+(6-6)=x2+6
5x+0=x2+6
5x=x2+6 //5
5(1/5)x=(x2+6)/5
(5/5)x=x2/5+6/5
1x=(1/5)x2+6/5
x=(1/5)x2+6/5
Non riusciamo ad ottenere alcuna conclusione: x sembra dipendere da se stesso!
Analogamente se proviamo ad isolare x2 e a svolgere il resto dei conti otteniamo
x=±(5x-6)
Di nuovo non otteniamo nessuna conclusione; bisogna procedere in altro modo.
Prima di tutto notiamo che questi problemi non ci sono per le equazioni polinomiali in una variabile di primo grado. Queste equazioni si possono infatti rappresentare così:
ax+b=0 dove x è la variabile e a e b sono costanti.
ax+b=0 /-b
ax+b+(-b)=-b
ax+(b-b)=-b
ax+0=-b
ax=-b //a
a(1/a)x=(-b)/a
(a/a)x=-b/a
1x=-b/a
x=-b/a
Non serve imparare questa formula: si possono rifare ogni volta i passaggi con i numeri.
Risolvere equazioni polinomiali di secondo grado in una variabile
Ora proviamo a risolvere in generale un' equazione polinomiale in una variabile di secondo grado usando uno stratagemma. Queste equazioni si possono rappresentare così:
ax2+bx+c=0
Risolviamola:
ax2+bx+c=0 //a
(ax2+bx+c)/a=0/a
a(1/a)x2+(b/a)x+c/a=0
(a/a)x2+(b/a)x+c/a=0
x2+(b/a)x+c/a=0
x2+(b/a)x+0+c/a=0
x2+(b/a)x+(b2/(4a2)-b2/(4a2))+c/a=0 ecco lo stratagemma
(x2+(b/a)x+b2/(4a2))+(-b2/(4a2))+c/a=0
(x+b/(2a))2+(c/a-b2/(4a2))=0 qui ho usato la regola 3 dei prodotti notevoli
(x+b/(2a))2+((c/a)1-b2/(4a2))=0
(x+b/(2a))2+((c/a)((4a)/(4a))-b2/(4a2))=0
(x+b/(2a))2+(c(1/a)(4a)(1/(4a))-b2/(4a2))=0
(x+b/(2a))2+(4ac/a/(4a)-b2/(4a2))=0
(x+b/(2a))2+(4ac/(a(4a))-b2/(4a2))=0
(x+b/(2a))2+(4ac/(4a2)-b2/(4a2))=0
(x+b/(2a))2+(4ac-b2)/(4a2)=0 /-(4ac-b2)/(4a2)
(x+b/(2a))2+((4ac-b2)/(4a2)-(4ac-b2)/(4a2))=-(4ac-b2)/(4a2)
(x+b/(2a))2+0=-(4ac/(4a2)-b2/(4a2))
(x+b/(2a))2=-(4ac/(4a2)+(-b2/(4a2)))
(x+b/(2a))2=-4ac/(4a2)-(-b2/(4a2))
(x+b/(2a))2=-4ac/(4a2)+(-(-b2/(4a2)))
(x+b/(2a))2=(-4ac/(4a2))+b2/(4a2)
(x+b/(2a))2=b2/(4a2)+(-4ac/(4a2))
(x+b/(2a))2=b2/(4a2)-4ac/(4a2)
(x+b/(2a))2=(b2-4ac)/(4a2) /
((x+b/(2a))2)1/2=±((b2-4ac)/(4a2))
(x+b/(2a))2(1/2)=±((b2-4ac)/(4a2))
(x+b/(2a))1=±((b2-4ac)/(4a2))
x+b/(2a)=±(b2-4ac)/(4a2)
x+b/(2a)=±(b2-4ac)/(4(a2)1/2)
x+b/(2a)=±(b2-4ac)/(2a2(1/2))
x+b/(2a)=±(b2-4ac)/(2a2/2)
x+b/(2a)=±(b2-4ac)/(2a1)
x+b/(2a)=±(b2-4ac)/(2a) /-(b/(2a))
x+b/(2a)-b/(2a)=±(b2-4ac)/(2a)-b/(2a)
x+0=(±(b2-4ac)-b)/(2a)
x=(±(b2-4ac)-b)/(2a)
Come prima abbiamo scritto ± davanti alla radice perché sappiamo dal teorema fondamentale dell' algebra che un' equazione di secondo grado ha 2 soluzioni. Scrivere ± davanti è come scrivere 2 righe "quasi uguali": davanti ad una c' è il +, davanti l' altra il -.
Questa formula è molto importante! Purtroppo è necessario impararla a memoria. Ricapitoliamo:
Data l' equazione
ax2+bx+c=0
le 2 soluzioni sono date da
x=(±(b2-4ac)-b)/(2a)
Usiamo la formula per risolvere l' equazione di prima.
x2-5x+6=0
1x2+(-5x)+6=0
1x2+(-5)x+6=0
Quindi a=1, b=-5, c=6
x=(±(b2-4ac)-b)/(2a)
x=(±((-5)2-4*1*6)-(-5))/(2*1)
x=(±(25-24)+(-(-5))/2
x=(±1+5)/2
Verifichiamo che le soluzioni siano corrette.
32-5*3+6=0
9-15+6=0
9+6+(-15)=0
15-15=0
0=0
22-5*2+6=0
4-10+6=0
4+6+(-10)=0
1-10=0
0=0
Esistono formule che permettono di risolvere in generale equazioni polinomiali in una incognita di terzo e quarto grado, ma sono complicatissime e quasi non si usano. Per il quinto grado e i superiori invece è stato dimostrato che non esistono formule di questo tipo (almeno non con le operazioni addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, radice con esponente intero); l' unico modo per risolverle è trovare dei metodi che funzionano in casi specifici e che non sono mai generali (per alcuni di questi metodi guardare qui), in qualche caso poi è praticamente impossibile trovare tutte le soluzioni.
Teorema
Posto un polinomio in una variabile uguale a 0, se lo scomponiamo in più polinomi moltiplicati tra loro, tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali ottenute ponendo questi polinomi uguali a 0 sono tutte le soluzioni dell' equazione polinomiale di partenza.
Esempio:
x2-9=0
x2-32=0 uso il 2 dei prodotti notevoli
(x+3)(x-3)=0
Il teorema ci dice che le soluzioni delle equazioni x+3=0 e x-3=0, che sono evidentemente (ma si può calcolarlo in pochissimi passaggi) -3 e 3, sono tutte le soluzioni di x2-9=0; ciò è coerente col teorema fondamentale dell' algebra che ci dice che questa equazione ha 2 soluzioni.
32-9=0
9-9=0
0=0
(-3)2-9=0
9-9=0
0=0
In questo esempio è facile vedere perché vale il teorema.
x2-9=0
x2-32=0
(x+3)(x-3)=0 //(x-3)
(x+3)(x-3)(1/(x-3))=0/(x-3)
(x+3)1=0
x+3=0 quindi la soluzione di questa è soluzione dell' equazione di partenza
x2-9=0
x2-32=0
(x+3)(x-3)=0 //(x+3)
(x-3)(x+3)(1/(x+3))=0/(x-3)
(x-3)1=0
x-3=0 quindi la soluzione di questa è soluzione dell' equazione di partenza
Algoritmo di Horner (regola di Ruffini)
È un procedimento per dividere un polinomio con un polinomio della forma x-a (evidentemente tale polinomio posto uguale a 0 ha come soluzione a).
Si scrivono in una riga i coefficienti del polinomio separando l' ultimo. Nella riga sottostante sotto il primo coefficiente si scrive 0, alla sua sinistra scriviamo il valore di a e tracciamo una riga orizzontale sotto la seconda riga. Al primo coefficiente del polinomio addizioniamo 0 e scriviamo il risultato sotto la riga, moltiplichiamo questo risultato con il valore di a e scriviamo il nuovo risultato sotto il secondo coefficiente. Al secondo coefficiente addizioniamo il numero sotto di esso e scriviamo il risultato sotto la riga, poi moltiplichiamo questo numero con il valore di a e scriviamo il nuovo risultato sotto il terzo coefficiente. Si prosegue in questo modo. I numeri sotto la riga orizzontale tranne l' ultimo sono i coefficienti del polinomio che stavamo cercando considerando che questo polinomio è di 1 grado inferiore, l' ultimo numero è invece il resto della divisione. Se è 0, significa che il polinomio di partenza si può dividere esattamente con x-a, diversamente la divisione non è esatta e bisogna considerare un resto vista l' impossibilità di fare un' approssimazione come nella divisione tra numeri (non ha senso per quanto ne sappiamo). Esempio: se calcoliamo 10/3, possiamo scrivere che 10/3~3,33 oppure scriviamo 10/3=3 con resto di 1.
Esempi di utilizzo dell' algoritmo:
(x3-27)/(x-3)
(1x3+0x2+0x+(-27))/(x-3)
La divisione è esatta (perché il resto è 0), perciò possiamo scrivere
(x3-27)/(x-3)=1x2+3x+9
(x3-27)/(x-3)=x2+3x+9
Chiaramente ciò significa che (ma bastano pochi conti per ottenerlo)
x3-27=(x2+3x+9)(x-3)
(x2+8x+22)/(x+5)=1x+3, ma c' è un resto di 7
(x2+8x+22)/(x+5)=x+3, ma c' è un resto di 7
Usando un po' di logica si capisce che ciò significa (si può confrontare con l' esempio sopra dove il resto era 0)
x2+8x+22=(x+3)(x+5)+7
Nota: è chiaro che si può utilizzare questo algoritmo anche se i coefficienti dei polinomi sono espressi tramite lettere (sono parametri), in questo caso i conti sono soltanto un po' più complicati e conviene farli a parte.
Teorema
Un polinomio è divisibile con un altro (cioè il resto è 0) esattamente quando tutte le soluzioni dell' equazione polinomiale ottenuta ponendo il secondo uguale a 0 sono tutte anche soluzioni dell' equazione polinomiale ottenuta ponendo il primo uguale a 0.
Vediamo in un esempio la validità di questo teorema.
Prendiamo i polinomi x3-6*x2+11*x-6 e x-2.
Il teorema afferma che il polinomio x3-6*x2+11*x-6 è divisibile con il polinomio x-2 esattamente quando tutte le soluzioni di x-2=0 (1 sol.) sono anche soluzioni di
x3-6*x2+11*x-6=0. Le soluzioni di x3-6*x2+11*x-6=0 sono 1, 2 e 3 (potete verificarlo facilmente), la soluzione di x-2=0 è invece 2. Allora i 2 polinomi sono divisibili.
(x3-6*x2+11*x-6)/(x-2)
(1*x3+(-6*x2)+11*x+(-6))/(x-2)
(1*x3+(0*x2-6*x2)+11*x+(-6))/(x-2)
(1*x3+(-6)*x2)+11*x+(-6))/(x-2)
Il resto è 0, significa che sono divisibili.
Possiamo anche procedere in verso contario: dividiamo i polinomi e notiamo che sono divisibili, quindi la soluzione di x-2=0, cioè 2, è anche soluzione di x3-6*x2+11*x-6.
Risolvere equazioni polinomiali di grado superiore al secondo in una variabile
Se non utilizziamo le formule per le equazioni di terzo e quarto grado, non si può sempre arrivare alle soluzioni. Qui spiego dei metodi che a volte funzionano. Sicuramente ci si può ingegnare ad inventare nuovi metodi.
Esempi:
Trova le 3 soluzioni di x3+3x2-4=0.
Osservando l' equazione e facendo delle prove osserviamo che una soluzione è 1 (x1=1). Certamente non è un modo rigoroso di procedere e non funziona sempre, ma bisogna procedere con questi metodi approssimativi. 1 è la soluzione dell' equazione x-1=0 (si vede facilmente), quindi il polinomio x3+3x2-4 è divisibile col polinomio x-1. Facciamo la divisione con l' algoritmo di Horner.
(x3+3x2-4)/(x-1)
(1x3+3x2+(-4))/(x-1)
(x3+3x2-4)/(x-1)=1x2+4x+4
(x3+3x2-4)/(x-1)=x2+4x+4
Da questo è evidente (ma bastano pochi conti per ottenerlo) che
x3+3x2-4=(x2+4x+4)(x-1)
Quindi
x2+4x+4=0 ha come soluzioni 2 delle soluzioni dell' equazione di partenza. Risolviamola con la formula apposita.
x2+4x+4=0
1x2+4x+4=0
x=(±(42-4*1*4)-4)/(2*1)
x=(±(16-16)-4)/2
x=(±0-4)/2
Notiamo che le ultime 2 soluzioni sono uguali tra loro; vengono comunque contate come 2 soluzioni.
Quindi x1=1, x2=-2, x3=-2
Trova le 3 soluzioni di x3-8=0.
Evidentemente una soluzione è 2 (x1=2). 2 è la soluzione dell' equazione x-2=0, quindi il polinomio x3-8 è divisibile col polinomio x-2. Facciamo la divisione (ma in alternativa potremmo usare la regola 6 dei prodotti notevoli per scomporre il polinomio; in quel caso non serviva nemmeno conoscere una soluzione).
(x3-8)/(x-2)
(1x3+0x2+0x+(-8))/(x-2)
Quindi x1=2, x2=-1+3*i, x3=-1-3*i.
Trova le 4 soluzioni di x4-7x2+12=0.
Per risolvere questo conviene fare una sostituzione. Vediamo:
x4-7x2+12=0
(x2)2-7x2+12=0
sostituzione t=x2
t2-7t+12=0
1t2+(-7t)+12=0
1t2+(-7t)+12=0
1t2+(-7)t+12=0
t=(±((-7)2-4*1*12)-(-7))/(2*1)
t=(±(49-48)+(-(-7)))/2
t=(±1+7)/2
Quindi x1=2, x2=-2, x3=3, x4=-3.
Qualche altro buon esempio si trova qui.
Risolvere equazioni in modo approssimato col metodo della bisezione
Una funzione si dice continua se il suo grafico è una linea continua (non spezzata). Il metodo sopra vale solo per le funzioni continue. Non preoccupatevi: la maggior parte delle funzioni elementari è continua (e poi potete fare la verifica se il vostro risultato è giusto o meno); tutti i polinomi sono funzioni continue.
Se prendiamo 2 valori di x e con essi calcoliamo i rispettivi valori della funzione (per come è costruito il grafico sono i rispettivi valori di y) e uno di essi è positivo mentre l' altro è negativo, sapendo che la funzione è continua, il grafico dovrà intersecare per forza l' asse x in almeno un punto col valore di x compreso tra i 2 valori prima considerati. I valori x dei punti di intersezione del grafico con l' asse x sono le soluzioni dell' equazione scritta ponendo l' espressione della funzione uguale a 0 (perché come vedrete fra poco si tratta di un sistema di 2 equazioni; una è data da y uguale all' espressione della funzione, l' altra è y=0, che è l' equazione dell' asse x (proprio così, non c' è un errore di battitura); la soluzione di questo (semplice) sistema è chiaramente data dall' espressione della funzione posta uguale a 0 (utilizzando il metodo della sostituzione) e il suo significato è l' intersezione del grafico della funzione con l' asse x). Quindi se abbiamo un' equazione nella quale un membro dell' uguaglianza è uguale a 0 (o la trasformiamo per farla diventare tale), calcoliamo il valore della funzione data dall' epressione nell' altro membro per 2 valori di x, chiamiamoli x1 e x2. Se i rispettivi valori (y) sono entrambi positivi o entrambi negativi, dobbiamo provare con altri valori di x (lo facciamo ad intuito magari aiutandoci disegnando un grafico approssimativo della funzione). Quando abbiamo trovato 2 valori x1 e x2 i cui rispettivi valori della funzione sono uno positivo e l' altro negativo, sappiamo (per quanto detto sopra) che la soluzione dell' equazione sarà un valore compreso tra x1 e x2. Perciò prendiamo il valore di x che sta esattamente a metà tra x1 e x2. Questo valore (di x) si calcola così: (x1+x2)/2. Calcoliamo il valore della funzione in questo punto; confrontandolo con i valori della fuzione per x1 e x2, capiremo tra quali 2 valori di x si trova la soluzione, così però avremo ristretto l' intervallo nel quale si trova la nostra soluzione. Procedendo così un po' di volte troveremo un intervallo molto ristretto e potremo prendere il valore che sta nel mezzo di questo intervallo (calcolato come ho detto poco fa) come approssimazione della soluzione. Il problema di questo metodo è che con esso troviamo solo le soluzioni reali, perché ci riferiamo al grafico bidimensionale che rappresenta sì la funzione, ma con dominio e codominio ristretti all' insieme dei numeri reali.
Esempio:
Calcola i valori approssimati delle soluzioni dell' equazione x3+x2-2x-1=0.
Per scegliere i 2 valori di x di partenza è consigliabile disegnare un grafico approssimato della funzione
x3+x2-2x-1 (oppure li scegliamo a caso). Qui riporto il grafico disegnato al computer (con il mio programma per disegnare i grafici di funzioni che trovate alla pagina dei programmi).
Guardando il grafico scegliamo i valori 1 e 2 (per trovare una soluzione). Calcoliamo i rispettivi valori della funzione per 1 e 2.
13+12-2*1-1=
1+1-2-1=-1
23+22-2*2-1=
8+4-4-1=7
Quindi la soluzione si troverà tra 1 e 2. Il punto che sta in mezzo è (1+2)/2=3/2. Calcoliamo il valore della funzione per 3/2.
(3/2)3+(3/2)2-2(3/2)-1=
(33/23)+(32/22)-2(1/2)3-1=
(27/8)+(9/4)-1*3-1=
(27/8)+(9/4)-3-1=
(27/8)+(9/4)+(-3)+(-1)=
(27/8)+(9/4)+(-4)=
(27/8)+(9/4)-4= (uso le regole per il calcolo con le frazioni)
(27/8)+((9*2)/(4*2))-4*1=
(27/8)+(18/8)-4*8*(1/8)=
(27/8)+(18/8)-(32/8)=
(27+18-32)/8=
13/8
Abbiamo ottenuto un numero positivo, quindi la soluzione starà tra 1 e 3/2 (perché per 1 la funzione assume un valore negativo).
Il punto che sta tra 1 e 3/2 è (1+3/2)/2=
(1*1+3/2)/2=
(1*2*(1/2)+3/2)*(1/2)=
(2/2+3/2)*(1/2)=
((2+3)/2)*(1/2)=
(5/2)*(1/2)= (uso le regole per il calcolo con le frazioni)
(5*1)/(2*2)=
5/4
Calcoliamo il valore della funzione per 5/4. Potremmo continuare a fare i calcoli con le frazioni, ma forse non è necessario perché tanto cerchiamo approssimazioni, quindi continuiamoli con i valori approssimativi usando una calcolatrice. Osserviamo che 5/4=1,25 e quindi per questo valore non abbiamo dovuto effettuare un approssimazione.
1,253+1,252-2*1,25-1~
1,95+1,56-2,5-1=
0,01
Abbiamo ottenuto un numero positivo, quindi la soluzione starà tra 1 e 1,25.
Il punto che sta tra 1 e 1,25 è (1+1,25)/2=2,25/2~1,13.
Calcoliamo il valore della funzione per 1,13.
1,133+1,132-2*1,13-1~
1,44+1,28-2,26-1=
-0,54
Quindi la soluzione starà tra 1,13 e 1,25.
Il punto che sta tra 1,13 e 1,25 è (1,13+1,25)/2=2,38/2=1,19. Potremmo continuare ancora così per trovare una migliore approssimazione, ma possiamo anche fermarci qui e prendere 1,19 come soluzione approssimata dell' equazione.
In questo caso per trovare le altre 2 soluzioni, siccome questa equazione ha 3 soluzioni per il teorema fondamentale dell' algebra (dal grafico si vede che ci sono 3 intersezioni con l' asse x, quindi 3 soluzioni reali), non serve ripetere il metodo di bisezione per esse (anche se potremmo farlo) ma conviene procedere così.
Usiamo l' algoritmo di Horner.
-0,270 ma -0,27~0. L' errore è dovuto al fatto che forse ho fatto un' approssimazione troppo grossolana.
L' equazione 1x2+2,19x+0,61=0 ci dà le altre 2 soluzioni.
x=((2,192-4*1*0,61)-2,19)/(2*1)
x~((4,8-2,44)-2,19)/2
x~(2,36-2,19)/2
x2~(1,54-2,19)/2
x2~(-0,65)/2
x2~-0,33
x3~((-1,54)-2,19)/2
x3~(-3,73)/2
x3~-1,87
Sistemi di equazioni
Consideriamo l' equazione in 2 variabili x+y=5. Quali sono gli x e gli y che vanno bene? Sono infiniti: ad esempio 2 e 3, 4 e 1, 3 e 5-3, 1-3*i e 4+3*i.
Quindi ciò che cerchiamo non è ben determinato. Per evitare di avere infinite soluzioni dobbiamo porre un vincolo. Come? Scrivendo un' altra equazione. Poi le consideriamo insieme.
x+y=5
x-y=1
Quello sopra si chiama sistema di equazioni. Un sistema di equazioni è un certo numero di equazioni considerate assieme. Trovare le soluzioni di un sistema di equazioni significa trovare i valori di ogni variabile che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema. È possibile trovare le soluzioni di un sistema di equazioni solo se il numero di incognite è uguale al numero di equazioni presenti nel sistema. Per i sistemi di equazioni polinomiali il numero delle soluzioni (per ogni variabile) di un sistema è uguale al prodotto dei gradi delle equazioni presenti. Ma qual' è il grado di un' equazione polinomiale in più variabili? Si considerano separatamente i pezzi separati dalle operazioni addizione e sottrazione; in ciascuno di questi pezzi si sommano gli esponenti delle operazioni potenza considerando 1 per le incognite alle quali non è applicata l' operazione potenza (perché x1=x); la massima di queste somme è il grado dell' equazione polinomiale (e del polinomio) in più variabili.
Evidentemente il sistema sopra non ha infinite soluzioni ma l' unica x=3 e y=2.
Risolvere sistemi di equazioni
In certi casi è molto difficile risolvere sistemi, perché non c' è esattamente una regola fissa, ma solo dei metodi che di solito vanno bene.
Metodo di sostituzione
Scegliamo un' equazione del sistema e la trasformiamo in modo da ottenere un' uguaglianza dove da una parte (del simbolo =) c' è solo una delle incognite (senza operazioni); scegliamo in modo da fare meno conti. Poi sostituiamo nelle altre equazioni questa incognita con l' espressione che abbiamo ottenuto per essa. Dopo aver calcolato i valori delle altre incognite calcoliamo quella sostituita con la medesima espressione.
Esempio:
x+y=5
x-y=1
Scelgo la prima equazione.
x+y=5 /-y
x+y-y=5-y
x+0=5-y
x=5-y
Sostituisco nella seconda.
(5-y)-y=1
5+(-y)+(-y)=1
5+(-1)y+(-1)y=1
5+((-1)+(-1))y=1
5+(-2)y=1 /-5
5+(-5)+(-2)y=1-5
0+(-2)y=-4
(-2)y=-4 //(-2)
(-2)(1/(-2))y=(-4)/(-2)
1y=4/2
y=2
Calcolo l' incognita che era stata sostituita.
x=5-y
x=5-2
x=3
Quindi x=3, y=2.
(Le 2 equazioni rappresentano ciascuna una retta nel piano e la soluzione può essere interpretata come il punto d' intersezione delle rette: (3;2). Guardate la pagina sulla geometria analitica per capire meglio.)
Metodo di addizione e sottrazione di equazioni
Scegliamo 2 equazioni del sistema. Consideriamo la somma delle parti sinistre e delle parti destre di esse. Ebbene queste somme sono uguali. Lo stesso vale se al posto dell' operazione addizione applichiamo l' operazione sottrazione. Sembra strano? Scriviamolo così:
a=b prima equazione, a e b rappresentano la parte sinistra e destra di essa; le incognite, i numeri e le operazioni sono inglobate in a e b
c=d seconda equazione, vale lo stesso per c e d
allora a+c=b+d
È abbastanza intuitivo. Se scriviamo a+c, possiamo sostituire a con b (perché sono uguali) e c con d (perché sono uguali), quindi a+c=b+d.
Con questo metodo bisognerebbe riuscire ad eliminare una incognita che verrà poi calcolata da una delle equazioni iniziali. Si può usare anche quando non si riesce ad eliminare un' incognita ma si semplifica molto il sistema; in questo caso oltre alla nuova equazione ottenuta dobbiamo conservare una delle 2 vecchie (abbiamo ottenuto la nuova sommandone o sottraendone 2) perché per risolvere un sistema dobbiamo avere tante equazioni quante incognite.
Esempio:
x+y=5
x-y=1
Sommo le 2 equazioni.
(x+y)+(x-y)=5+1
x+y+(-y)+x=6
1x+1x+0=6
(1+1)x=6
2x=6 //2
2(1/2)x=6/2
1x=3
x=3
Inserisco il valore di x nella prima equazione.
3+y=5 /-3
3+(-3)+y=5
0+y=5
y=5
Quindi x=3, y=5.
A volte, ma specialmente quando abbiamo più di 2 equazioni conviene usare una combinazione dei 2 metodi. Sempre all' interno di questi metodi a volte conviene effettuare una sostituzione per semplificare i conti.
Esempio:
2/x+5/y=10
x=2y
prima equazione
2(1/x)+5(1/y)=10
sostituzione r=1/x s=1/y
2r+5s=10
seconda equazione
1/(1/x)=2(1/(1/y))
1/r=2(1/s)/-1
1/(1/r)1=(1/21)(1/(1/s)1)
1/(1/r)=(1/2)(1/(1/s))
r=(1/2)s
Riscriviamo il sistema
2r+5s=10
r=(1/2)s
Sostituisco r nella prima equazione
2((1/2)s)+5s=10
(2/2)s+5s=1
1s+5s=1
(1+5)s=1
6s=1 //6
6(1/6)s=1/6
1s=1/6
s=1/6
Inserisco il valore di s nella prima equazione
2r+5(1/6)=10
2r+5/6=10 /-(5/6)
2r+5/6+(-5/6)=10*1-5/6
2r+0=10*6*(1/6)-5/6
2r=60/6-5/6
2r=(6-5)/6
2r=55/6 //2
2(1/2)r=55/6/2
1r=55/(6*2)
r=55/12
1/6=1/y /-1
1/((1/6)1)=1/((1/y)1)
1/(1/6)=1/(1/y)
6=y
y=6
Quindi x=12/55, y=6.
Esempio di utilizzo pratico di un sistema di equazioni
Compriamo un televisore con uno schermo di 17 pollici e vogliamo sapere quanto misurano i lati di esso.
Intanto bisogna sapere che i pollici sono semplicemente un' unità di misura non standard (anglosassone): 1 pollice equivale a 2,54 cm; se lo schermo ha 17 pollici significa che la diagonale di esso misura 17 pollici. Facciamo i conti in pollici e poi convertiamo i risultati in centimetri. Bisogna sapere anche che la proporzione tra il lato più lungo e il lato più corto è come la proporzione tra i numeri 4 e 3; ciò significa che se dividiamo il lato più lungo in 4 parti, quello più corto equivale a 3 di esse; la proporzione si esprime tramite l' operazione divisione perché essa ci dice quante volte un numero sta in un altro (esistono anche gli schermi larghi e bassi per i quali la proporzione è 16:9).
Scriviamo tutto ciò come un sistema di equazioni, ricordando che la diagonale di un rettangolo si calcola con il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti i lati del rettangolo e per ipotenusa la diagonale di esso. Chiamo i lati dello schermo a e b e la diagonale d.
a2+b2=172
a/b=4/3
Modifico la seconda equazione
a/b=4/3 /*b
ab(1/b)=4b(1/3)
a1=4b(1/3)
a=4b(1/3)
Modifico la prima equazione
a2+b2=172
a2+b2=289
Sostituisco l' espressione di a nella seconda equazione
(4b(1/3))2+b2=289
42b2(1/3)2+b2=289
16(12/32)b2+b2=289
16(1/9)b2+b2=289
(16/9)b2+1b2=289
(16/9+1)b2=289
(16/9+1*1)b2=289
(16/9+1*9*(1/9))b2=289
(16/9+9/9)b2=289
((16+9)/9)b2=289
(25/9)b2=289 /*9
25(1/9)9b2=289*9
25*1*b2=2601
25*b2=2601 //25
25(1/25)b2=2601/25
1b2=2601/25
b2=2601/25 /
(b2)1/2=(2601/25)
b2(1/2)=(2601/25)
b1=(2601/25)
b=(2601/25)
Vediamo di semplificare il più possibile (2601/25) (non abbiamo scritto ± perché le lunghezze dei lati sono numeri positivi).
2601 - 3
867 - 3
289 - 17
17 - 17
1
Ci si poteva aiutare guardando come abbiamo ottenuto 2601 nei conti. Quindi, 2601=32*172, 25=52
b=(2601/25)
b=(32*172/52)1/2
b=(32*172)1/2/(52)1/2
b=(32)1/2*(172)1/2/52(1/2)
b=32(1/2)*172(1/2)/51
b=31*171/5
b=3*17/5
b=51/5
b=10,2
Usiamo l' espressione di a per calcolarlo.
a=4*(51/5)*(1/3) (guardiamo come abbiamo ottenuto 51)
a=4*3*17*(1/5)*(1/3)
a=4*3*(1/3)*17*(1/5)
a=4*1*17*(1/5)
a=68*(1/5)
a=68/5
a=13,6
Abbiamo ottenuto i risultati in pollici (li denoto con pol), convertiamoli in centimetri.
a=13,6pol=13,6*2,54cm=34,544cm
b=10,2pol=10,2*2,54cm=25,908cm
Quindi
a=34,544cm
b=25,908cm
(b2-4ac)-b)/(2a)
8
3 grado 2
a=
0 ma -0,27~0. L' errore è dovuto al fatto che forse ho fatto un' approssimazione troppo grossolana.
