Sistemi di coordinate

L' idea per collegare strettamente geometria e matematica è introdurre un sistema di coordinate che rappresenti punti nel piano o nello spazio tramite una "sequenza" di numeri. A priori ciò si potrebbe fare in molti modi, ma quasi sempre si usano coordinate cartesiane. Per maggiore completezza parlerò anche di coordinate polari, anche se sono più difficili da capire e immaginare e richiedono la conoscenza di concetti che introdurrò nelle prossime pagine sulla geometria.

Coordinate cartesiane
Nel piano
Innanzitutto disegnamo due assi che si intersecano formando un angolo retto (guardate la figura). Il punto di intersezione si chiama origine. Poi scegliamo l' unità di misura, cioè quanto è lungo il segmento che va da 0 (l' origine) a 1 su entrambi gli assi. Si potrebbe anche scegliere di non intersecare gli assi ad angolo retto e di non usare la stessa unità di misura su entrambi, ma sarebbe un' inutile complicazione. Per convenzione usiamo il sistema di coordinate descritto poco fa (e sotto raffigurato). Poi dobbiamo scegliere qual' è il "primo" e qual' è il "secondo" asse. Per convenzione prendiamo per primo l' asse orizzontale (dove la direzione è quella verso destra) e lo chiamiamo ascissa (il valore numerico della coordinata del punto su quest' asse si chiama ascissa del punto) o asse x, per secondo l' asse verticale (dove la direzione è quella verso l' alto) e lo chiamiamo ordinata (il valore numerico della coordinata del punto su quest' asse si chiama ordinata del punto) o asse y. Se ora diamo una coppia di numeri reali, tra parentesi e separati da punto e virgola (;), essi rappresentano univocamente un punto nel piano (si può usare anche la virgola invece del punto e virgola, ma può creare problemi se si scrivono come valori delle coordinate numeri decimali usando la virgola; la virgola può andare bene se si scrivono i numeri decimali col punto o se si scrivono lettere al posto dei numeri). L' origine ha sempre coordinate (0;0).

Esempio: rappresentiamo i punti (3;-5) e (-2,5;5,5) nel piano.

I segmenti che congiungono i 2 punti agli assi non sono necessari ma servono per capire meglio come si rappresentano i punti in questo modo.
Cambiamento di coordinate
Modificare le coordinate di un punto riferendoci ad un nuovo sistema di coordinate può essere molto utile per risolvere molti problemi di geometria dove le figure sono descritte tramite le coordinate dei loro punti (questo ramo della geometria si chiama geometria analitica).
Prendiamo il sistema dove gli assi si chiamano, nell' ordine, x e y. In questo sistema consideriamo il punto di coordinate (a;b). Ora prendiamo un nuovo sistema che ha per origine il punto di coordinate (a;b) rispetto al vecchio sistema. Chiamiamo i suoi assi, nell' ordine, x₁ e y₁. Ora possiamo dare le coordinate di ogni punto rispetto al vecchio o al nuovo sistema, basta specificare quale.
Basta capire il disegno sottostante (ed eventualmente guardare qui) per saper collegare le vecchie alle nuove coordinate. Prima ho chiamato gli assi x, y, x₁, y₁.Gli assi non sono altro che rette. Quindi posso dare gli stessi nomi ai valori numerici delle coordinate, tanto non c' è possibilità di confusione: si tratta di rette e di numeri. Quindi il legame è:
x₁=x-a
y₁=y-b

Qualcuno potrebbe pensare, guardando il disegno, che il legame vale solo se scegliamo l' origine del nuovo sistema nel primo quadrante del vecchio sistema. Invece no. Quando dobbiamo determinare le formule di sopra dobbiamo immaginare che l' origine del nuovo sistema sia nel primo quadrante del vecchio sistema, ma una volta ottenute, non abbiamo restrizioni, basta che consideriamo gli eventuali valori negativi di a e b.
Nello spazio
Lo spazio ha 3 dimensioni, mentre un disegno ne ha 2. Perciò bisogna prima scegliere un modo per rappresentare in un disegno strutture in 3 dimensioni. Ce ne sono tanti, ma qui ve ne presenterò uno (secondo me il migliore). Per rappresentare un punto nello spazio ci servono 3 assi, quindi il problema si riduce a capire come disegnare questi 3 assi (non è un problema matematico, ma pratico). Fate così: si prende un asse verticale, mentre gli altri due si disegnano rispetto a questo con un angolo di 120 gradi a destra e 150 gradi a sinistra (se scegliessimo 135 gradi da entrambe le parti, disegnando un cubo avremmo delle parti che si ricoprono). Questi sono gli assi (che si possono prolungare in entrambi i versi attraverso l' origine) che hanno, nell' ordine, direzioni verso sinistra (per l' asse disegnato inizialmente a sinistra dell' asse verticale), verso destra (per l' asse disegnato inizialmente a destra dell' asse verticale) e verso l' alto che si chiamano rispettivamente asse x, asse y, asse z (guardate i disegni). Qui dobbiamo scegliere una terna di numeri reali per rappresentare un punto nello spazio, tra parentesi quadre e separati da punto e virgola (;). (Vale lo stesso discorso di prima per l' uso del punto e virgola o della virgola.) L' origine ha sempre coordinate (0;0;0).

Esempio: rappresentiamo nello spazio il punto (3;4;5). Per farlo prima prendiamo il valore sull' asse x, poi ci spostiamo paralleli all' orientazione dell' asse y di quanto è il valore della coordinata y (verso sinistra se è positiva, verso destra se è negativa, non ci spostiamo se fosse 0), infine ci spostiamo paralleli all' orientazione dell' asse z (in verticale) di quanto è il valore della coordinata z (verso l' alto se è positiva, verso il basso se è negativa, non ci spostiamo se fosse 0). Per capire meglio guardate la figura.

Cambiamento di coordinate
Il principio è lo stesso che nel piano. Il legame è il seguente:
x₁=x-a
y₁=y-b
z₁=z-c

Coordinate polari
Nel piano
Le coordinate polari sono meno usate di quelle cartesiane. Gli assi si disegnano secondo lo stesso principio, ma i valori delle coordinate (cioè i valori numerici) hanno un' altro significato. La prima indica la distanza del punto dall' origine, la seconda l' angolo tra la direzione positiva dell' asse x e il segmento congiungente l' origine e il punto considerato. Questo angolo è misurato in radianti (matematicamente un radiante equivale al numero 1). L' origine ha sempre coordinate (0;0).
Esempio: rappresentiamo il punto di coordinate (3;

/4).

Nello spazio
A scuola si usano poco e sono difficili da usare, perciò non mi soffermo a lungo su questo tipo di coordinate. L' idea è molto simile alla precedente. I punti vengono rappresentati da terne di numeri reali. La prima coordinata indica la distanza del punto dall' origine. Poi consideriamo il piano determinato dagli assi x e y. Colleghiamo il punto che stiamo considerando con il piano citato prima tramite una linea che interseca il piano ad angolo retto (si dice che proiettiamo il punto sul piano xy). Ora consideriamo il punto di intersezione che chiamiamo proiezione del punto (quello iniziale) sul piano xy. Ebbene, la seconda coordinata è l' angolo tra la direzione positiva dell' asse x e il segmento congiungente l' origine con la proiezione del punto sul piano xy. La terza coordinata, invece, è l' angolo tra l' asse z e il segmento congiungente l' origine con il punto considerato. Sforzatevi un po' per immaginarlo (il principio è simile a prima) leggendo attentamente quanto riportato sopra, perché è difficilissimo disegnarlo al computer. L' origine ha sempre coordinate (0;0;0). Questi angoli si misurano in radianti. Questo tipo di coordinate è simile alle coordinate geografiche sulla Terra, ma non uguale (sulla Terra la distanza è il raggio di essa, gli angoli si misurano in gradi e non sono proprio gli stessi).

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