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Ripasso di Fisica per il Biennio delle Superiori

Unità 3.
Le forze e l'equilibrio

Definizioni e tabelle ESERCIZI SVOLTI, ESPERIENZE E ATTIVITA' Questionario

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E1. Un corpo è sottoposto a due forze perpendicolari, di intensità 15 kg_p e 5,5 kg_p. Determinare graficamente e analiticamente l'intensità F_r della forza risultante.

Svolgimento
La determinazione grafica della risultante si ottiene mediante la regola del parallelogramma spiegata nella Nota 2. La determinazione analitica si ottiene mediante il teorema di Pitagora (vedi Nota 3), grazie al fatto che la diagonale del rettangolo formato dai due vettori componenti è uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cui i due vettori sono i cateti.

Si ha così: F_r² = 15² + 5,5² = 255,25.

Quindi, estraendo la radice quadrata di entrambi i membri dell'equazione:

F_r = = 15,98 kg_p

NOTA 3

Ricordiamo che un triangolo è rettangolo quando uno dei suoi angoli è retto. I due lati che formano l'angolo retto sono chiamati cateti, mentre l'altro lato è chiamato ipotenusa.

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Si ha quindi:

a² = b² + c²

E2. Una automobile di 900 kg poggia su quattro ammortizzatori a molle, ciascuno dei quali si accorcia sotto il peso dell'auto di 3,5 cm. Di quanto si accorciano gli ammortizzatori quando sull'auto salgono due persone, una di 60 e l'altra di 80 kg, con un bagaglio di 160 kg ?

Svolgimento
Ogni ammortizzatore si accorcia di 3,5 cm ( = 0,035 m) quando su di esso grava un peso:

p = 900 kg_p / 4 = 225 kg_p

Perciò, il coefficiente di elasticità di queste molle è, per la formula data nella definizione D10:

k = 225 kg_p / 0,035 m = 6429 kg_p/m.

Con il carico, l'auto raggiunge il peso pari a:

p = 900 + 80 + 60 + 160 = 1200 kg_p

Quindi, su ogni ammortizzatore grava un peso:

p = 1200 kg_p / 4 = 300 kg_p

Invertendo la formula data nella definizione D10, si ottiene infine:

DL = p / k = 300 kg_p / 6429 kg_p/m = 0,047 m = 4,7 cm.

E3. Su una altalena lunga 3 m salgono due bambini A e B, che pesano rispettivamente 20 kg_p e 35 kg_p. A quale distanza da A deve essere posto il fulcro F dell'altalena perché possa realizzarsi l'equilibrio?

Svolgimento
Poiché l'altalena è una leva, si può applicare la condizione di equilibrio data nella definizione D27, considerando i pesi dei bambini come forze motrice e resistente:

20 kg_p • b_a = 35 kg_p • b_b

da cui: b_a = 35 b_b / 20 = 1,75 b_b

A questo punto, dei due bracci si conoscono il rapporto (b_a / b_b = 1,75) e la somma (b_a + b_b = 3 m). Per conoscere i singoli valori, bisogna risolvere quello che in matematica si chiama un "sistema" di equazioni (vedi Nota 4).
Si ha così:

b_a + b_b = 1,75 b_b + b_b = (1,75 + 1) b_b = 2,75 b_b = 3

Quindi: b_b = 3 / 2,75 = 1,09 m, e b_a = 3 - b_b = 3 - 1,09 = 1,91 m

NOTA 4

Relazioni come quelle incontrate nell’esercizio E3:

b_a / b_b = 1,75 b_a + b_b = 3

sono equazioni di primo grado in due incognite. Ciascuna di esse ha infinite soluzioni, però si può cercare la coppia di valori (b_a, b_b) che soddisfi entrambe le equazioni.
L'insieme delle due equazioni prende il nome di sistema di equazioni. Uno dei metodi più semplici per la risoluzione dei sistemi è quello di sostituzione, che si compone delle seguenti fasi:

1. Si risolve la prima equazione rispetto a una delle incognite (nel nostro caso: b_a = 1,75 b_b).

2. Si sostituisce l'espressione trovata al posto dell'incognita scelta nell'altra equazione, che diventa così una equazione in una sola incognita (1,75 b_b + b_b = 3).

3. Si risolve la seconda equazione (b_b = 1,09).

4. Si sostituisce il risultato nella prima equazione e si risolve anche questa, trovando così anche l'altra incognita (b_a + 1,09 = 3 e quindi: b_a = 1,91).

E4. Due pescatori A e B camminano sulle rive opposte di un canale trainando una barca per mezzo di una fune. Determina graficamente la risultante delle forze esercitate dai pescatori. Se F_A > F_B che cosa accade? Se il canale fosse più largo, sarebbe più facile trainare la barca con la stessa fune?

Svolgimento
Il problema si risolve applicando la regola del parallelogrammo. Se F_A = F_{B
,}la risultante è parallela ai bordi del canale; al contrario, se F_A > F_B,la direzione di traino non è più parallela al canale, e la barca potrebbe urtare contro i bordi.
Un allargamento del canale comporterebbe l'allargamento dell'angolo tra le due forze trainanti e di conseguenza la diminuzione di intensità della risultante, a parità delle forze applicate. Quindi, il traino sarebbe più difficile.

E5. Determina la somma di due vettori di intensità 3 e 10 nei seguenti casi:
a) hanno stessa direzione e stesso verso;
b) hanno stessa direzione e verso opposto;
c) hanno direzioni perpendicolari tra loro.

Svolgimento
a) La somma è uguale a 13; la risultante ha lo stesso verso dei due vettori.

b) La somma è uguale a 7; infatti, in questo caso le due intensità si sottraggono, essendo opposti i versi dei due vettori. La risultante ha lo stesso verso del vettore di maggiore intensità.

c) La somma si può ottenere graficamente. Per ottenere il valore preciso dell’intensità della risultante, si deve però applicare il teorema di Pitagora, e si ha:

10,44

E6. Una molla si allunga di 2,5 cm sotto l'azione di un peso di 18 kg_p . Di quanto si allungherebbe, se il peso fosse 38 kg_p ? Qual è il suo coefficiente di elasticità?

Svolgimento
Poiché gli allungamenti sono direttamente proporzionali ai pesi applicati, si può risolvere questo problema mediante una proporzione:

2,5 cm : 18 kg_p = DL : 38 kg_p

Si ha: DL = 2,5 cm • 38 kg_p / 18 kg_p = 5,28 cm

Il coefficiente di elasticità è il rapporto costante tra peso e allungamento; perciò, dopo aver trasformato i 2,5 cm in 0,025 m, si calcola come segue:

k = 18 kg_p / 0,025 m = 720 kg_p/m.

E7. Se il limite di elasticità di un corpo elastico è rappresentato da una forza di 120 kg_p, e il suo coefficiente di elasticità è 350 kg_p/m, qual è la deformazione massima cui può essere sottoposto?

Svolgimento
Invertendo la formula data nella definizione D10, si ha: DL = p / k

Sostituendo in essa i dati del problema, otteniamo:

DL = 120 kg_p / 350 kg_p/m = 0,34 m

Quindi, la deformazione massima consentita è di 34 cm.

E8. Una ruota di 20 cm di diametro è sottoposta a una coppia il cui momento è 5,5 kg_p•m. Quale forza bisogna applicare ai bordi della ruota per impedirne il movimento?

Svolgimento
Il raggio della ruota sarà la metà del diametro, quindi:

r = 10 cm = 0,1 m

Questo è il braccio della coppia che si deve applicare agendo sul bordo della ruota per contrastare quella che cerca di farla ruotare.
Quindi: b = 0,1 m.
La coppia da applicare deve avere un momento almeno uguale a quello che si vuole contrastare, quindi: M = 5,5 kg_p•m
Invertendo la formula data nella definizione D16, si ha:

F = M / b

Sostituendo in questa formula i valori noti, si ottiene infine l’intensità della forza da applicare:

F = 5,5 kg_p•m / 0,1 m = 55 kg_p

E9. Se per svitare un bullone è necessario applicare una coppia con un momento di 15 kg_p•m, e posso sviluppare una forza massima di 50 kg_p, quanto dovrà essere lungo il manico della chiave che userò per svitare il bullone?

Svolgimento
La lunghezza del manico è il braccio della coppia che devo applicare. Invertendo la formula data nella definizione D16, si ha:

b = M / F

Sostituendo in questa formula i valori noti, si ottiene:

b = 15 kg_p•m / 50 kg_p = 0,3 m

Quindi, il manico dovrà essere lungo 0,3 m = 30 cm.

E10. Un "piede di porco" ha il braccio della resistenza lungo 10 cm e il braccio della potenza lungo 1,5 m. Quanta forza si deve applicare all'estremità del braccio per sollevare un oggetto di 450 kg_p? E' una leva vantaggiosa o svantaggiosa?

Svolgimento
Il piede di porco è una leva vantaggiosa, poiché la potenza da applicare è inferiore al valore della resistenza. In questo caso, si ha:

b_r = 10 cm = 0,1 m, b_p = 1,5 m, R = 450 kg_p

Sostituendo i valori noti nella formula data nella definizione D27, si ha:

P • 1,5 m = 450 kg_p • 0,1 m

Risolvendo l’equazione, si ha:

P = 450 kg_p • 0,1 m / 1,5 m = 30 kg_p

Quindi, si deve applicare una forza di 30 kg_p.

E11. Scomponi la forza peso agente su un corpo situato su un piano inclinato nella direzione parallela e in quella perpendicolare al piano. Come variano le due componenti al variare della inclinazione del piano? A quale di queste due componenti reagisce il vincolo del piano?

Svolgimento
Indicato con p il vettore peso applicato sul corpo appoggiato sul piano inclinato, esso viene scomposto nei vettori p_p e p_n (rispettivamente, la componente parallela e quella perpendicolare al piano inclinato) mediante la tecnica di scomposizione descritta nella Nota 3.
All’aumentare dell’inclinazione del piano, aumenta il valore della componente parallela e diminuisce il valore della componente perpendicolare. Poiché il vincolo del piano reagisce alla componente perpendicolare, all’aumentare dell’inclinazione diminuisce la reazione vincolare, cioè il corpo è sempre meno sostenuto dal piano.

E12. Su un piano inclinato è appoggiato un corpo di 65 kg. La forza parallela al piano necessaria per sostenere il corpo è di 35 kg_p. Calcola la reazione vincolare del piano.

Svolgimento
Le componenti parallela e perpendicolare al piano della forza peso sono i cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è uguale alla forza peso. Di conseguenza, poiché conosciamo la forza peso (= 65 kg_p) e la componente parallela (= 35 kg_p), tramite il teorema di Pitagora possiamo calcolare la componente perpendicolare.
Invertendo la formula data nella Nota 3 e sostituendo i valori noti abbiamo:

p_p = = 54,77 kg_p

Poiché la reazione vincolare del piano è uguale e opposta alla componente perpendicolare del peso, si può concludere che l’intensità della reazione è pari a 54,77 kg_p.

ESPERIENZE E ATTIVITÀ

A1. Appendi una molla (o un elastico) a un sostegno, applica ad essa dei pesi noti p1, p2, p3,..., e misura le lunghezze corrispondenti L₁, L₂, L₃,..., della molla. Calcola quindi gli allungamenti, cioè le differenze tra queste lunghezze e la lunghezza originale L. Disponi in un grafico gli allungamenti DL₁, DL₂, DL₃,..., in funzione dei pesi applicati per verificare la proporzionalità diretta tra queste due grandezze, e calcola il coefficiente di elasticità della molla (vedi le definizioni D7-D8).

A2. Se puoi sacrificare la molla che hai utilizzato per l'esperienza precedente, aggiungi pesi fino a raggiungere il suo limite di elasticità, continuando a controllare la relazione tra allungamenti e pesi. Perché un dinamometro non può avere una portata superiore al suo limite di elasticità? (vedi la definizione D16 dell’Unità 1).

A3. Puoi determinare il baricentro di una figura piana irregolare realizzando una sagoma di cartoncino e appendendola per uno dei suoi punti a un sostegno. Il baricentro si trova lungo la verticale passante per quel punto, che puoi tracciare aiutandoti con un "filo a piombo" (vedi la definizione D20). Ripetendo questa operazione dopo aver appeso la sagoma per un altro punto, troverai il baricentro come punto di intersezione delle due verticali. Che cosa succede se appendi la sagoma per il baricentro?

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