Strumenti ad induzione.

Sono costituiti da due bobine: una collegata in serie alla linea, l'altra derivata. Queste sono avvolte su nuclei magnetici in ferro. Il circuito magnetico è costituito, per la restante parte da un disco conduttore il quale è posto perpendicolarmente alle linee di forza dei campi generati dalle due bobine, in modo che la sua superficie sia investita dal flusso uscente dalle bobine stesse. Il disco ruota liberamente intorno al suo asse, mentre un piccolo magnete sagomato a ``C'', facente parte del circuito magnetico, fornisce la coppia di smorzamento.

Figure: Schema funzionale di uno strumento ad induzione.

Si considerino i due flussi uscenti dalle bobine: $\Phi_{a}$ e $\Phi_{v}$ per la bobina amperometrica e voltmetrica rispettivamente. Essendo tali flussi generati da correnti alternate produrranno sul disco di alluminio delle correnti parassite, a causa della legge di Lorentz, si ha^7.3:

$$d\vec{F}_{m}=-I_{pa}d\vec{l}\times\vec{B}_{a}+I_{pv}d\vec{l}\times\vec{B}_{v}$$

essendo però:

$$\vec{B}_{a}\parallel\vec{B}_{v}\perp d\vec{l}\perp d\vec{F}_{m}$$

si ha:

$$dF_{m}=-I_{pa}B_{a}dl+I_{pv}B_{v}dl$$

poichè si trascura il coefficiente di autoinduzione del disco e se ne considera la resistenza $R$, si ha:

$$I_{pa}=-\frac{1}{R}\cdot\frac{d\Phi_{a}}{dt}$$

$$I_{pv}=-\frac{1}{R}\cdot\frac{d\Phi_{v}}{dt}$$

di conseguenza:

$$dF_{m}=\frac{1}{R}\cdot\frac{d\Phi_{a}}{dt}B_{a}dl-\frac{1}{R}\cd... ...l=\frac{1}{R}\left(\frac{d\Phi_{a}}{dt}B_{a}-\frac{d\Phi_{v}}{dt}B_{v}\right)dl$$

integrando lungo il polo della bobina amperometrica che è pari a quella voltmetrica ($d_{p}$), si ha:

$$F_{m}=\frac{d_{p}}{R}\left(\frac{d\Phi_{a}}{dt}B_{a}-\frac{d\Phi_{v}}{dt}B_{v}\right)$$

l'induzione $B_{a}$ e $B_{v}$ sono date da:

$$B_{a}=\mu_{0}H_{a}\qquad B_{v}=\mu_{0}H_{v}$$

dove:

$$H_{a}=\frac{N_{a}I}{l}\qquad H_{v}=\frac{N_{v}V}{lR_{v}}$$

per cui:

$$B_{a}=\mu_{0}\frac{N_{a}I}{l}\qquad B_{v}=\mu_{0}\frac{N_{v}V}{lR_{v}}$$

e di conseguenza:

$$F_{m}=\frac{\mu_{0}d_{p}}{lR}\left(N_{a}I\frac{d\Phi_{a}}{dt}-\frac{N_{v}V}{R_{v}}\cdot\frac{d\Phi_{v}}{dt}\right)$$

se la tensione $V$ è sinusoidale come la corrente $I$, si ha:

$$\Phi_{a}\left(t\right)=L_{a}I\sin\left(\omega t+\varphi\right)\qquad\Phi_{v}\left(t\right)=L_{v}\frac{V}{R_{v}}\sin\left(\omega t\right)$$

$$\frac{d\Phi_{a}\left(t\right)}{dt}=\omega L_{a}I\cos\left(\omega ... ...Phi_{v}\left(t\right)}{dt}=\omega L_{v}\frac{V}{R_{v}}\cos\left(\omega t\right)$$

$$F_{m}\left(t\right)=\frac{\mu_{0}\omega d_{p}}{lR}\left[N_{a}L_{a... ...varphi\right)-\frac{N_{v}L_{v}V^{2}}{R_{v}^{2}}\cos\left(\omega t\right)\right]$$

dalla quale si calcola la coppia motrice, poichè il raggio del disco è $r_{d}$:

$$T_{m}\left(t\right)=\frac{\mu_{0}\omega d_{p}r_{d}}{lR}\left[N_{a... ...varphi\right)-\frac{N_{v}L_{v}V^{2}}{R_{v}^{2}}\cos\left(\omega t\right)\right]$$

ponendo:

$$K'=\frac{\mu_{0}\omega d_{p}r_{d}}{lR}$$

si ottiene:

$$T_{m}\left(t\right)=K'\left[N_{a}L_{a}I^{2}\cos\left(\omega t+\varphi\right)-\frac{N_{v}L_{v}V^{2}}{R_{v}^{2}}\cos\left(\omega t\right)\right]$$

se si costruiscono le bobine in maniera tale che sia:

$$N_{a}L_{a}=N_{v}L_{v}=NL$$

si ottiene:

$$T_{m}=K'NL\left[I^{2}\cos\left(\omega t+\varphi\right)-\frac{V^{2}}{R_{v}^{2}}\cos\left(\omega t\right)\right]$$

$$K_{cm}=K'NL$$

$$T_{m}=K_{cm}\left[I^{2}\cos\left(\omega t+\varphi\right)-\frac{V^{2}}{R_{v}^{2}}\cos\left(\omega t\right)\right]$$

in questo tipo di strumenti la coppia antagonista non è come quella degli strumenti elettrodinamici, essa infatti dipende dalla velocità di rotazione del disco, essendo $B_{m}$ l'induzione del magnete permanente, si ha:

$$F_{r}=-I_{pr}B_{m}l_{m}$$

essendo:

$$I_{pr}=-\frac{1}{R}\cdot\frac{d\Phi_{m}}{dt}$$

poichè il flusso concatenato varia a causa della rotazione del disco, si ha:

$$\frac{d\Phi_{m}}{dt}=B_{m}\frac{dS}{dt}$$

ma:

$$dS=r_{d}d\alpha_{d}$$

per cui:

$$\frac{d\Phi_{m}}{dt}=r_{d}B_{m}\frac{d\alpha_{d}}{dt}=\omega_{d}r_{d}B_{m}$$

la corrente parassita generata dal magnete è:

$$I_{pr}=-\frac{\omega_{d}r_{d}B_{m}}{R}$$

di conseguenza la forza di contrasto è:

$$F_{r}=\frac{\omega_{d}r_{d}l_{m}B_{m}^{2}}{R}$$

e la coppia di contrasto:

$$T_{r}=\frac{\omega_{d}l_{m}B_{m}^{2}r_{d}^{2}}{R}$$

ponendo:

$$K_{r}=\frac{l_{m}B_{m}^{2}r_{d}^{2}}{R}$$

si ha:

$$T_{r}=K_{r}\omega_{d}$$

all'equilibrio si ha:

$$T_{m}-T_{r}=J_{d}\frac{d\omega_{d}}{dt}$$

$$K_{cm}\left[I^{2}\cos\left(\omega t+\varphi\right)-\frac{V^{2}}{R... ...2}}\cos\left(\omega t\right)\right]-K_{r}\omega_{d}=J_{d}\frac{d\omega_{d}}{dt}$$