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 Didattica |
| Ripasso di Fisica per il Biennio delle Superiori |  |
| Unità 1. Il metodo sperimentale e il problema della misura |
| Definizioni e tabelle | ESERCIZI SVOLTI, ESPERIENZE E ATTIVITA' | Questionario |
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E1. Sei misurazioni di una grandezza
eseguite con lo stesso strumento hanno dato i seguenti
risultati: 4,22 4,12 3,96 4,18 4,06 3,90. Calcolare il valore
medio, l'errore assoluto e gli scarti delle singole misure.
Svolgimento
Applicando la formula data nella definizione D22, si ha il valore medio:
Applicando la formula data nella definizione D23, si ottengono gli scarti:
s1 = 4,22 - 4,07 = 0,15
e analogamente si ha: s2
= 0,05; s3 = -0,11; s4 = 0,11; s5
= -0,01; s6 = -0,17.
Poiché gmin = 3,90 e gmax = 4,22,
applicando la formula data nella definizione D24 si ha l'errore assoluto:
Quindi, il risultato di queste misurazioni è: 4,07 ± 0,16. Per la definizione D26, non si deve riportare in questi valori il secondo decimale, dato che già il primo è incerto, e così il risultato va arrotondato come segue (vedi Nota 1): 4,1 ± 0,2.
NOTA 1
Quando si esegue l'arrotondamento del valore di
una grandezza riducendo il numero di decimali con cui questa
viene espressa, bisogna approssimare per difetto se la
cifra che segue l'ultima cifra significativa è minore di 5,
mentre bisogna approssimare per eccesso se la cifra
che segue è maggiore o uguale a 5.
Per esempio, il numero 5,6743 espresso con due decimali
diventa 5,67, perché la cifra che occupa il terzo decimale
è minore di 5 (è una approssimazione per difetto, infatti
5,67 < 5,6743). Lo stesso numero, espresso con un solo
decimale, diventa 5,7, perché la cifra che occupa il secondo
decimale è maggiore di 5 (è una approssimazione per
eccesso, infatti 5,7 > 5,6743).
E2. Cinque
misurazioni di una grandezza danno come risultati la sequenza
di valori: 3,63 3,51 3,35 3,64 3,36. Calcolare la media e
l'errore assoluto e stabilire se questa misurazione è più
precisa di quella trattata nell'esercizio precedente.
Svolgimento.
Il valore medio si calcola come nell’esercizio E1:
e così l'errore assoluto:
Approssimando, il risultato
è allora: 3,5 ± 0,1.
L'errore assoluto è inferiore a quello trovato
nell’esercizio E1,
ma il confronto fra le misurazioni deve essere fatto sulla
base dell'errore relativo. In questo caso, applicando
la formula data nella definizione D25, si ha:
erel = 0,145 / 3,498 = 0,041 (erel% = 0,041·100 = 4,1%)
Mentre nel caso esaminato nell’esercizio E1 si aveva:
erel = 0,16 / 4,07 = 0,039 (erel% = 0,039·100 = 3,9%)
Essendo risultato maggiore l'errore relativo, la seconda misurazione è meno precisa di quella esaminata nell’esercizio E1.
E3. Il risultato
di una misura di lunghezza è 7,43 ± 0,05 m. Qual è il
valore più probabile di questa misura, ed entro quali limiti
è contenuto il valore vero?
Svolgimento
Il valore più probabile è 7,43 m (vedi definizione D24).
Poiché 0,05 è l’errore assoluto, il valore vero della
misura è compreso tra 7,38 m (= 7,43 - 0,05) e 7,48 m (=
7,43 + 0,05)
E4. Misurando la
mia massa (m) con 5 bilance diverse ho trovato i seguenti
risultati (in kilogrammi): 65,0 64,5 66,0 65,5 65,0. Calcola
il valore medio e gli errori relativi e assoluti.
Svolgimento
Il calcolo della media fornisce il seguente
risultato:
Poiché il valore massimo misurato è 66 kg e il valore minimo è 64,5 kg, l’errore assoluto è uguale a:
L'errore relativo è: erel = 0,75 / 65,2 = 0,0115 (erel% = 0,0115·100 = 1,5%)
E5. Calcola gli
scarti delle misure riportate nell'esercizio precedente
rispetto al loro valore medio.
Svolgimento
Gli scarti si ottengono sottraendo da ogni misura il
valore medio:
s1 = 65,0 - 65,2 = -0,2 e, analogamente, s2 = -0,7; s3 = 0,8; s4 = 0,3; s5 = -0,2.
E6.
Cronometrando il tempo dall'istante dell'apertura di un
rubinetto e misurando la quantità d'acqua che scende, si
compila la seguente tabella:
| tempo (secondi): | 2 | 5 | 7 | 10 | 12 |
| volume (cm3): | 40 | 130 | 240 | 250 | 290 |
Quale di queste due grandezze è la variabile indipendente? Disponi questi valori in un diagramma cartesiano e trova graficamente la miglior retta che collega i punti sperimentali (vedi Nota 2 nelle Definizioni). L'origine degli assi può essere considerata un punto sperimentale? Da che cosa possono essere causate le variazioni rispetto alla linearità?
Svolgimento
La variabile indipendente è il tempo, mentre il
volume è la variabile dipendente (dal tempo, appunto).
L'origine degli assi può essere considerata in questo caso
un punto sperimentale: infatti, quando parte il cronometro
(tempo = 0) la quantità d'acqua è nulla. Le variazioni
rispetto alla linearità sono dovute alla mancanza di
precisione nelle misure del tempo e della quantità d'acqua.
La terza misura è però dovuta ad un errore banale o ad una
improvvisa irregolarità di funzionamento del rubinetto. Ecco
il grafico:
E7. Determina la
costante di proporzionalità tra la quantità d'acqua e il
tempo sulla base dei dati relativi all'esercizio precedente,
e fornisci una interpretazione fisica di questo valore.
Svolgimento
I rapporti tra le due grandezze sono i seguenti:
40 cm3 / 2 s = 20 cm3/s, 130 cm3 / 5 s = 26 cm3/s, 240 cm3 / 7 s = 34,3 cm3/s,
250 cm3 / 10 s = 25 cm3/s, 290 cm3 / 12 s = 24,2 cm3/s.
Calcolando la media dei rapporti tra le due grandezze (escluso il terzo valore, corrispondente all'errore banale), si ottiene che la costante di proporzionalità vale 23,8 cm3/s. Questo risultato (che può anche essere ottenuto direttamente dal grafico) corrisponde alla quantità d'acqua che scende dal rubinetto nell'unità di tempo e viene detta anche portata (vedi Unità 10).
E8. Le temperature medie mensili a
Milano sono le seguenti (in °C):
| Gen | Feb | Mar | Apr | Mag | Giu | Lug | Ago | Set | Ott | Nov | Dic |
| 1,9 | 3,8 | 8,6 | 13,2 | 17,3 | 22,2 | 24,8 | 23,9 | 20,3 | 13,7 | 8,5 | 3,0 |
Calcola la media annuale delle temperature e l'escursione tra la minima e la massima.
Svolgimento
Eseguendo il calcolo della media tra i 12 valori
mensili di temperatura, si ottiene che la media annuale è
13,4°C.
Poiché la temperatura massima (a luglio) è 24,8°C e la
temperatura minima (a gennaio) è 1,9°C, l'escursione
termica è data dalla differenza tra questi due valori:
24,8°C - 1,9°C = 22,9°C.
(Attenzione: poiché in questo caso non si tratta di una sequenza di valori soggetti ad errori casuali, l'operazione di media non consiste nel calcolo del valore "più probabile", e ha un valore puramente statistico).
E9. Disponi in
un grafico i dati relativi all'esercizio precedente e
determina la relazione che c'è tra le temperature medie ed i
mesi dell'anno.
Svolgimento
Le temperature medie mensili sono legate ai mesi
dell'anno da una relazione empirica, che si ripete similmente
di anno in anno, ma non è esprimibile in forma matematica.
Il tipo di grafico più adatto per rappresentare questa serie
di dati è l’istogramma:
E10. Determina
la relazione di proporzionalità esistente tra le due
grandezze x e y
di cui si hanno le seguenti misure:
| x: | 1,12 | 2,15 | 5,78 | 8,30 | 9,42 |
| y: | 0,97 | 3,56 | 25,72 | 53,05 | 68,33 |
Calcola il coefficiente di proporzionalità e traccia il grafico di questa relazione.
Svolgimento
Tra x e y c'è una relazione di
proporzionalità quadratica. Infatti, sono costanti i
rapporti tra i valori di y e i corrispondenti valori
di x al quadrato:
0,97 / 1,12² = 0,77, 3,56 / 2,15² = 0,77 ecc.
Di conseguenza, il
coefficiente di proporzionalità tra le due grandezze è
0,77.
Il grafico cartesiano di questa relazione è una parabola:
ESPERIENZE E ATTIVITÀ
A1. Alcuni
sostengono che le persone instabili di mente sono
particolarmente soggette ad accessi di pazzia durante le
notti di luna piena. Progetta un sistema che consenta di
verificare tale affermazione, evidenziando le fasi del metodo
sperimentale, le eventuali misure, le difficoltà in cui ti
troveresti.
A2.
Utilizzando un piede come unità di misura, determina le
dimensioni della tua stanza. Esamina i vantaggi e gli
svantaggi di questo tipo di misurazione. Trasforma i
risultati in metri dopo aver misurato con un righello la
lunghezza del tuo piede.
A3. Puoi
misurare lo spessore di un foglio di carta di un libro con un
semplice righello, misurando lo spessore di tutto il libro e
dividendo il risultato per il numero dei fogli (attenzione:
questo numero è la metà del numero delle pagine!).
Individua, con l’aiuto delle definizioni D14-D21, che tipo di misurazione è questo e
quale tipo di errore fai se includi nella misura anche la
copertina. Progetta un metodo analogo a questo per misurare
il volume medio di una goccia d'acqua.
A4. Non
pensare che gli strumenti di precisione siano necessariamente
oggetti molto costosi disponibili solo a centri di ricerca
specializzati. Per esempio, puoi costruire una bilancia di
precisione utilizzando una semplicissima cannuccia da bibita,
uno spillo, una vite e pochi altri oggetti ricuperabili
facilmente in casa.
Introduci la vite in una estremità della cannuccia e taglia
l'altra estremità della cannuccia in modo che vi si possano
appoggiare piccoli oggetti. Introduci lo spillo nella
cannuccia, forandola a circa 2 cm dalla vite, e appoggia le
estremità dello spillo su un sostegno ad U di plastica o
cartoncino.
Ritaglia dei quadretti da un foglio di carta quadrettata (che
costituiranno la tua unità di misura) e disponili con una
pinzetta sul "piatto" della bilancia segnando i
valori di inclinazione della cannuccia su un foglio di carta
disposto verticalmente accanto ad essa. A questo punto puoi
sbizzarrirti a misurare in "quadretti" il peso di
gocce d'acqua, capelli, cristalli di zucchero, sale, ecc.
