ESERCIZI SVOLTI

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Ripasso di Fisica per il Biennio delle Superiori

Unità 11.
La gravitazione

Definizioni e tabelle ESERCIZI SVOLTI, ESPERIENZE E ATTIVITA' Questionario

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E1. Calcolare l'attrazione gravitazionale esistente tra un libro di 2,5 kg e un quaderno di 200 g appoggiati su un tavolo alla distanza di 30 cm. Quale massa dovrebbe avere il libro per smuovere il quaderno, se il coefficiente d'attrito di questi oggetti con il tavolo è 0,5?

Svolgimento
Applicando la legge della gravitazione universale ai due oggetti, dopo aver trasformato i dati nelle unità del SI (kg per le masse e metri per la distanza), si ottiene:

F_g = 6,673•10^-11• 2,5 kg • 0,2 kg / (0,3 m)² = 3,71•10^-10 N

Questa debolissima forza non è in grado di smuovere il libro e il quaderno, essendo di gran lunga sovrastata dalla forza d'attrito che trattiene questi oggetti al tavolo. Nel caso del quaderno (vedi la definizione D17 dell’Unità 9), la forza d'attrito è pari a:

F_a = 0,5 • 0,2 kg • 9,8 m/s² = 0,98 N

Quindi, il libro potrebbe smuovere il quaderno solo esercitando una forza gravitazionale di questo valore. Risolvendo la legge di Newton rispetto a m₁ si ha:

m₁ = F_g • d² / G • m₂

Sostituendo a F_g il valore della forza d'attrito e a m₂ la massa del quaderno, si ottiene la massa che dovrebbe avere il libro:

m₁ = 0,98 N • (0,3 m)² / 6,673•10^-11• 0,2 kg = 6,61•10⁹ kg

E' la massa di una grande montagna! (che si poteva ottenere anche sfruttando la proporzionalità tra forza e massa). In una situazione di questo genere bisognerebbe rivedere però la misura della distanza, poiché non è proponibile ancora una distanza tra i baricentri di soli 30 cm... Così ti puoi rendere conto del perché non è avvertibile la forza d'attrazione gravitazionale tra oggetti di comune esperienza, ma solo la forza esistente tra questi e la Terra.

N.B. I dati riguardanti il Sole e i pianeti, necessari per risolvere gli esercizi seguenti, si trovano nella Tabella 11 nell’Unità 2.

E2. Calcolare la velocità orbitale e il periodo del Telescopio Spaziale (HST), che compie orbite circolari intorno alla Terra alla quota di 600 km.

Svolgimento
Il raggio dell'orbita di HST si ottiene dalla somma del raggio terrestre e della quota di HST rispetto alla superficie terrestre:

r = 6378 km + 600 km = 6978 km = 6,978•10⁶ m

La velocità orbitale si ottiene tramite la formula data nella definizione D13, dove M è la massa della Terra:

v_c = = 7562 m/s

Il periodo si trova invertendo la formula data nella definizione D4 dell’Unità 8:

T = 2 p r / v_c = 2 • 3,14 • 6,978•10⁶ m / 7562 m/s = 5795 s

Utilizzando il procedimento imparato nell'esercizio E2 dell’Unità 2, si ottiene che questo tempo equivale a 1h 36m 35s.

Si può determinare il periodo orbitale anche senza bisogno di calcolare prima la velocità. Infatti, combinando la definizione di periodo con la formula della velocità orbitale, si ottiene:

T = 2 p r /

E3. I satelliti geostazionari sono detti così perché sono fermi rispetto alla superficie terrestre; essi sono utilizzati per telecomunicazioni intercontinentali o per osservazioni meteorologiche. Per ottenere questo comportamento, i satelliti geostazionari si devono trovare in orbita equatoriale ad una distanza dalla Terra tale che il loro periodo orbitale risulti esattamente uguale al periodo di rotazione terrestre.
Utilizzando la terza legge di Keplero, calcolare a quale distanza dalla Terra si devono trovare questi satelliti.

Svolgimento
Come termine di confronto conviene usare la Luna, di cui si hanno dati precisi. Dalla terza legge di Keplero, indicando con il pedice s i dati relativi al satellite e con il pedice L quelli relativi alla Luna, si ha:

T_s² / T_L² = r_s³ / r_L³

T_s = 1 giorno = 3600 s • 24 h = 86.400 s = 8,64•10⁴ s.
Poiché il periodo orbitale della Luna è 27d 7h 43m 11s e il raggio orbitale medio 384.000 km, si ha:

T_L = 27 d • 86.400 s + 7 h • 3600 s + 43 m • 60 s + 11 s = 2.360.591 s = 2,36•106 s

r_L = 3,84•10⁸ m.

Risolvendo quindi la formula di Keplero rispetto a r_s³, si ha:

r_s³ = (8,64•10⁶s)² • (3,84•10⁸ m)³ / (2,36•10⁶s)² = 7,585•10²² m³

Per ottenere r_s bisogna ora estrarre la radice cubica del risultato (vedi Nota 2):

r_s = = 42,33•10⁶ m = 42.330 km

Questa è la distanza dei satelliti dal centro della Terra; la quota h rispetto alla superficie si ottiene sottraendo da questa distanza il raggio terrestre:

h = 42.330 km - 6378 km = 35.952 km

NOTA 2

Se sei costretto ad estrarre "a mano" la radice cubica di un numero, perché la tua calcolatrice non possiede l'operatore di elevamento a potenza, devi operare come segue:

1) Esprimi il numero in notazione esponenziale, facendo in modo che la potenza di 10 sia un multiplo di 3.

Per esempio, 7,585•10²² si deve scrivere così: 75,85•10²¹.

2) La radice cubica del numero che precede la potenza si può ottenere con un procedimento di interpolazione, sapendo che:

1³ = 1; 2³ = 8; 3³ = 27; 4³ = 64; 5³ = 125; ...

L'interpolazione consiste nella ricerca del valore approssimato di una grandezza in un punto quando se ne conoscono i valori assunti agli estremi di un intervallo che comprende quel punto. L'interpolazione si può effettuare matematicamente per approssimazioni successive, circoscrivendo il risultato cercato con intervalli sempre più stretti.
Nel nostro esempio, è subito evidente dalla tabella riportata sopra che il risultato è compreso tra 4 e 5. Il valore medio di questo intervallo è 4,5; calcolando ora:

4,5³ = 4,5 • 4,5 • 4,5 = 91,1,

si può stabilire che il risultato è compreso tra 4 e 4,5, e via di questo passo (il valore medio è 4,25, ecc.). Questo procedimento si interrompe quando si raggiunge il livello di precisione desiderato.

L'interpolazione si può eseguire anche con metodo grafico:

Si traccia un grafico che mette in corrispondenza i valori 1, 2, 3 ... disposti in ascisse con le rispettive terze potenze 1, 8, 27 ... disposte in ordinate.

Si ottiene una curva che letta al contrario, cioè dalle ordinate alle ascisse, consente di ottenere con una certa approssimazione le radici cubiche.

3) La radice cubica della potenza di 10 si ottiene applicando le proprietà delle potenze riportate nella Nota 2 dell’Unità 2. Nel nostro esempio:

= (10²¹)^1/3 = 10⁷

E4. Calcola la forza di gravità tra Terra e Luna e la forza di gravità tra Luna e Sole. In base al risultato, rispondi se è del tutto esatto considerare la Luna un satellite della Terra.

Svolgimento
Poiché la Luna gira intorno alla Terra, possiamo considerare la distanza media tra la Luna e il Sole pari a quella tra la Terra e il Sole.
Applicando la formula della gravitazione universale al caso Terra-Luna, dopo aver trasformato la distanza tra questi due corpi in metri, si ottiene che la forza di gravità tra Terra e Luna è uguale a:

F_g = 6,673•10^-11• 5,98•10²⁴ kg • 7,33•10²² kg / (1,49•10⁸ m)² = 1,98•10²⁰ N.

Procedendo in modo analogo per il caso Luna-Sole, si ottiene che la forza di gravità tra Luna e Sole è uguale a 4,38•10²⁰ N.
Quindi, si può concludere che la Luna è attirata più dal Sole che dalla Terra (la forza è più che doppia)! Questo risultato induce a considerare la Luna come un vero e proprio pianeta del sistema solare, il cui movimento è solo "disturbato" dalla vicinanza della Terra.

E5. Calcola con la precisione di 3 decimali il valore della accelerazione di gravità all'equatore e ai poli terrestri, dove il raggio è di 22 km inferiore a quello equatoriale. Di quanto varierebbe il peso di una persona di 70 kg tra queste due località?

Svolgimento
All'equatore, dove il raggio è pari a 6378 km (= 6,378•10⁶ m) l’accelerazione di gravità è, per la formula data nella definizione D8:

g = 6,673•10^-11 • 5,98•10²⁴ kg / (6,378•10⁶ m)² = 9,810 m/s²

Ai poli il raggio è pari a:

R = 6378 km - 22 km = 6356 km

Applicando la formula precedente a questa situazione, si ottiene: g = m/s².
Di conseguenza, la riduzione di peso che ottiene tra poli ed equatore una persona di 70 kg è:

Dp = 70 kg • 9,878 m/s - 70 kg • 9,810 m/s = 4,76 N

Questo effetto si somma a quello dovuto alla forza centrifuga, calcolato nell’esercizio E7 dell’Unità 9.

E6. Una sonda spaziale si trova alla distanza di 3 milioni di km dal centro di un pianeta, e qui misura una accelerazione di gravità di 1,4 cm/s². Di quale pianeta si tratta?

Svolgimento
Invertendo la formula dell'accelerazione gravitazionale, si ottiene la massa del pianeta:

M = g • R² / G

Sostituendo in questa formula i dati del problema (R = 3 milioni di km = 3•10⁶ m, g = 1,4 cm/s² = 0,14 m/s²), si ha:

M = 0,014 m/s² • 3•10⁶ m / 6,673•10^-11 = 1,89•10²⁷ kg.

Con buona approssimazione, si tratta del pianeta Giove.

E7. La terza legge di Keplero è quella che più facilmente si riesce a ricavare dalla legge di gravitazione universale, almeno nell'ipotesi di orbite circolari. Prova dunque a dimostrare che il rapporto tra T² e r³ è costante per i pianeti di un sistema planetario, aiutandoti con i risultati dell'esercizio E2.

Svolgimento
Elevando al quadrato entrambi i membri della formula del periodo trovata nell'esercizio E2 si ha:

T² = 4 p² r³ / G • M

e dividendo entrambi i membri per r³:

T² / r³ = 4 p² / G • M

Il rapporto tra T² e r³ è costante in un sistema planetario, poiché dipende solo da costanti universali e dalla massa del corpo centrale.

E8. Calcola le forze di attrazione gravitazionale tra i pianeti e il Sole. Perché queste forze risultano uguali alle forze centripete calcolate nell'esercizio E6 dell’Unità 9? Come si è potuto creare storicamente questo equilibrio?

Svolgimento
Per esempio, il pianeta Giove è sottoposto a una forza di gravità pari a:

F_g = 6,673•10^-11 • 1,99•10³⁰ kg • 1,90•10²⁷ kg / (7,78•10¹¹ m)² = 4,16•10²³ kg

Questa forza risulta uguale alla forza centripeta definita nell’Unità 9. Le forze risultano uguali perché i pianeti si trovano nella condizione di equilibrio orbitale descritta nella definizione D13.
Le origini del sistema solare sono state molto caotiche, e l'ordine attuale è il risultato di un processo di selezione naturale che ha eliminato tutti i pianeti (o aspiranti tali) che non orbitavano in condizioni di equilibrio, facendoli precipitare nel Sole, o portandoli a collidere con altri pianeti (vedi gli antichi crateri lunari), o facendoli allontanare definitivamente dal sistema planetario.

E9. Calcola l'accelerazione di gravità alla superficie e la velocità orbitale dei pianeti del sistema solare.

Svolgimento
Eseguiamo, per esempio, i calcoli per il pianeta Giove. Sostituendo i dati nelle formule riportate nelle definizioni D8 e D13, si ottiene (R = 71.880 km = 7,188•10⁷ m):

g = 6,673•10^-11 • 1,90•10²⁷ kg / (7,188•10⁷ m)² = 24,53 m/s²

v_c = = 13.064 m/s

E10. Nel 1969 la capsula Apollo 8 fu posta in orbita circolare intorno alla Luna, a 112 km dalla superficie lunare. Sapendo che il periodo di quest'orbita era di 1h 59m, calcola la massa della Luna.

Svolgimento
Poiché il raggio della Luna è 1738 km, il raggio dell’orbita di Apollo 8 è:

r = 1738 km + 112 km = 1850 km = 1,85•10⁶ m

La circonferenza orbitale è:

c = 2 • 3,14 • 1,85•10⁶ m = 1,162•10⁷ m

Poiché il periodo orbitale è:

T = 1h • 3600 + 59m • 60 = 7140 s

la velocità orbitale è uguale a:

v_c = 1,162•10⁷ m / 7140 s = 1627 m/s

Invertendo la formula data in D13 rispetto alla massa, si ha:

M = v_c² • r / G

Sostituendo i dati del problema, si ottiene la massa della Luna:

M = (1627 m/s)² • 1,85•10⁶ m / 6,673•10^-11 = 7,33•10²² kg

E11. Quale velocità deve essere data a una sonda spaziale spedita dalla Terra per farla uscire dal sistema solare?

Svolgimento
Dalle definizioni D13 e D15 si ottiene la seguente relazione tra la velocità orbitale e quella di fuga:

v_f = v_c •

Quindi, poiché la velocità orbitale terrestre è pari a 29,85 km/s (valore che si ottiene con il procedimento descritto nell’esercizio E9), la sua velocità di fuga sarà:

v_f = 29,85 km/s = 42,21 km/s

Si tratta di una velocità altissima, corrispondente a 42,21 km/s • 3,6 = 151956 km/h.

E12. Lo Shuttle ha una massa di 100 tonnellate e orbita intorno alla Terra alla quota di 500 km. Calcola la sua energia cinetica. Perché è molto pericoloso il ritorno della navetta nell'atmosfera?

Svolgimento
Il raggio orbitale dello Shuttle è uguale alla somma del raggio terrestre e della sua quota di volo:

r = 6378 km + 400 km = 6878 km

Quindi, la sua velocità orbitale è:

v_c = = 7617 m/s

Poiché la sua massa è:

m = 100 tonn = 100 • 1000 = 10⁵ kg

l'energia cinetica dello Shuttle è:

E_c = ½ 10⁵ kg • (7617 m/s)² = 2,9•10¹² J.

Al ritorno nell'atmosfera, molta di questa energia (che equivale a 2,9•10¹² J / 4186 = 6,93•10⁸ Calorie) viene convertita in calore dall'attrito con l'aria, mettendo a dura prova gli scudi di protezione termica di cui è dotata la navetta spaziale.

E13. Al perielio, la cometa di Halley dista dal Sole 0,587 UA, mentre all'afelio dista 34,989 UA. Calcola in kilometri l'asse maggiore D₁D₂ della sua orbita e la distanza F₁F₂ tra i due fuochi.

Svolgimento
L'asse maggiore (vedi Nota 1) è dato dalla somma delle due distanze estreme. Quindi, poiché 1 UA = 1,49•10⁸km, si ha:

D₁D₂ = 34,989 UA + 0,587 UA = 35,576 UA

D₁D₂ = 35,576 UA • 1,49•10⁸km = 5,30•10⁹ km.

La distanza tra i fuochi è data invece dalla differenza tra queste due distanze:

F₁F₂ = 34,989 UA - 0,587 UA = 34,402 UA

F₁F₂ = 34,402 UA • 1,49•10⁸km = 5,16•10⁹ km.

Il rapporto tra la distanza tra i fuochi e l'asse maggiore è detto eccentricità (e) dell'ellisse: nel caso della cometa di Halley l'eccentricità orbitale è:

e = F₁F₂/ D₁D₂ = 34,402 UA / 35,576 UA = 0,967

ESPERIENZE E ATTIVITÀ

A1. Impara a riconoscere i pianeti del sistema solare che sono visibili ad occhio nudo, principalmente Venere, Marte, Giove e Saturno (Mercurio pone qualche difficoltà, a causa della sua vicinanza al Sole, mentre Urano, Nettuno e Plutone richiedono l'uso di strumenti astronomici, a causa della loro debole luminosità). Se avrai la pazienza di annotare su un atlante stellare le loro posizioni nel cielo rispetto alle stelle, potrai notare da una stagione all'altra le variazioni di queste posizioni, dovute ai moti orbitali dei pianeti e della Terra.
I pianeti derivano il loro nome proprio da questo comportamento, conosciuto fin dall'antichità; infatti, la parola "pianeta" deriva da una parola greca che significa "errante".

A2. Con un semplice binocolo puoi dedicarti ad osservazioni particolareggiate della Luna, sulla cui superficie riconoscerai molti crateri da impatto, dovuti ai violenti fenomeni che hanno accompagnato la nascita del sistema solare (vedi l’esercizio E8). Tieni presente che le osservazioni migliori sono quelle che si fanno nei pressi del cosiddetto "terminatore", cioè la linea che divide la parte illuminata da quella in ombra della Luna: qui le ombre sono più lunghe e quindi i rilievi sono più contrastati. Anche sulla Terra caddero molti asteroidi ai tempi delle origini, ma la maggior parte dei crateri terrestri è stata successivamente cancellata dagli sconvolgimenti geologici e dai fenomeni meteorologici.

A3. Una delle prime prove a favore del sistema eliocentrico è stata portata dall'osservazione del sistema di Giove, che è costituito dal pianeta e dai suoi quattro principali satelliti medicei scoperti da Galileo. Esso sembra riprodurre il sistema solare in miniatura, ed è alla portata anche di un binocolo (ma è meglio, se possibile, utilizzare un cannocchiale o un telescopio), mediante il quale si possono seguire i movimenti dei satelliti anche da una notte all'altra. Annota le disposizioni dei satelliti medicei attorno a Giove osservando tutte le sere alla stessa ora per una ventina di giorni e cerca di misurare i loro periodi.

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